ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 106

1) Построим график функции $y = \arccos(\cos x)$. **Исследование функции:** 1. **Область определения:** Так как значение $\cos x \in [-1; 1]$ для любого $x \in \mathbb{R}$, а арккосинус определен на отрезке $[-1; 1]$, то область определения: $$ D(y) = \mathbb{R} $$ 2. **Область значений:** По определению арккосинуса его значения лежат в пределах от $0$ до $\pi$: $$ E(y) = [0; \pi] $$ 3. **Периодичность:** Функция $\cos x$ периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. Следовательно, функция $y = \arccos(\cos x)$ также является периодической с периодом $T = 2\pi$: $$ y(x + 2\pi) = \arccos(\cos(x + 2\pi)) = \arccos(\cos x) = y(x) $$ 4. **Четность:** Функция $\cos x$ — четная, поэтому: $$ y(-x) = \arccos(\cos(-x)) = \arccos(\cos x) = y(x) $$ Функция является четной, её график симметричен относительно оси $Oy$. 5. **Вид функции на основном отрезке:** - По определению арккосинуса, для $x \in [0; \pi]$ выполняется тождество $\arccos(\cos x) = x$. Графиком на этом отрезке является отрезок прямой $y = x$, соединяющий точки $(0; 0)$ и $(\pi; \pi)$. - В силу четности функции, на отрезке $[-\pi; 0]$ график задается формулой $y = -x$ (отрезок, соединяющий точки $(-\pi; \pi)$ и $(0; 0)$). - Таким образом, на промежутке $[-\pi; \pi]$ длиной в период график совпадает с графиком функции $y = |x|$. **Построение графика:** - На отрезке $[-\pi; \pi]$ строим «уголок» с вершиной в точке $(0; 0)$ и вершинами зубьев в точках $(-\pi; \pi)$ и $(\pi; \pi)$. - Периодически повторяем полученный фрагмент с шагом $2\pi$ вправо и влево по всей числовой прямой. График представляет собой бесконечную периодическую пилообразную (ломаную) линию с зубьями: - минимумы (нули функции): $(2\pi k; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$; - максимумы: $(\pi + 2\pi k; \pi)$, где $k \in \mathbb{Z}$. --- 2) Построим график функции $y = \arcsin(\cos x)$. **Аналитическое преобразование:** Воспользуемся известным тригонометрическим тождеством для любого $t \in [-1; 1]$: $$ \arcsin t + \arccos t = \frac{\pi}{2} \implies \arcsin t = \frac{\pi}{2} - \arccos t $$ Подставим $t = \cos x$: $$ y = \arcsin(\cos x) = \frac{\pi}{2} - \arccos(\cos x) $$ **Исследование функции и геометрический смысл преобразования:** 1. **Область определения:** $$ D(y) = \mathbb{R} $$ 2. **Область значений:** Так как $\arccos(\cos x) \in [0; \pi]$, получаем: $$ -\pi \le -\arccos(\cos x) \le 0 $$ $$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - \arccos(\cos x) \le \frac{\pi}{2} $$ $$ E(y) = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $$ 3. **Периодичность и четность:** Период равен $T = 2\pi$, функция четная. 4. **Вид графика:** График получается из графика $y = \arccos(\cos x)$ следующими преобразованиями: - симметричным отражением относительно оси $Ox$ (получаем функцию $y = -\arccos(\cos x)$); - параллельным переносом вдоль оси $Oy$ на $\frac{\pi}{2}$ вверх. 5. **Вид на основном периоде:** - Для $x \in [0; \pi]$: $$ y = \frac{\pi}{2} - x $$ Отрезок прямой, соединяющий точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ и $\left(\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$. Точка пересечения с осью $Ox$: $\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$. - Для $x \in [-\pi; 0]$ (в силу четности): $$ y = \frac{\pi}{2} - (-x) = x + \frac{\pi}{2} $$ Отрезок прямой, соединяющий точки $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$ и $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Точка пересечения с осью $Ox$: $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$. **Построение графика:** - На отрезке $[-\pi; \pi]$ строим «уголок», направленный вершиной вверх: соединяем точки $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$, $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ и $\left(\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$. - Периодически повторяем этот фрагмент с шагом $2\pi$ вправо и влево по всей оси $Ox$. График представляет собой пилообразную (ломаную) линию с чередующимися звеньями: - максимумы: $\left(2\pi k; \frac{\pi}{2}\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$; - минимумы: $\left(\pi + 2\pi k; -\frac{\pi}{2}\right)$, где $k \in \mathbb{Z}$; - нули функции (пересечения с осью $Ox$): $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.