ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 9 - 9.4

### 1) $f(x) = \frac{x - 3}{x - 1}$ 1. **Область определения:** Знаменатель не равен нулю: $x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$. $$D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$$ 2. **Преобразование функции:** Выделим целую часть: $$f(x) = \frac{(x - 1) - 2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$$ График получается параллельным переносом гиперболы $y = -\frac{2}{x}$ на $1$ единицу вправо вдоль оси $Ox$ и на $1$ единицу вверх вдоль оси $Oy$. 3. **Асимптоты:** - Вертикальная асимптота: прямая $x = 1$. - Горизонтальная асимптота: прямая $y = 1$ (так как при $x \to \pm\infty$ значение $f(x) \to 1$). 4. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = \frac{0 - 3}{0 - 1} = 3 \implies (0; 3)$. - С осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $x - 3 = 0 \implies x = 3 \implies (3; 0)$. 5. **Монотонность и экстремумы:** $$f'(x) = \left(1 - 2(x - 1)^{-1}\right)' = \frac{2}{(x - 1)^2}$$ Так как $(x - 1)^2 > 0$ при всех $x \neq 1$, то $f'(x) > 0$ на каждом из промежутков $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; 1)$ и на $(1; +\infty)$. Точек экстремума нет. 6. **Построение графика:** - Проводим асимптоты $x = 1$ и $y = 1$. - Отмечаем опорные точки: $(-1; 2)$, $(0; 3)$, $(2; -1)$, $(3; 0)$. - Строим ветви гиперболы, расположенные во II и IV квадрантах относительно асимптот. --- ### 2) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x}$ 1. **Область определения:** $$x^2 - 2x \neq 0 \iff x(x - 2) \neq 0 \iff x \neq 0, \; x \neq 2$$ $$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$$ 2. **Четность / нечетность:** $$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 - 2(-x)} = \frac{1}{x^2 + 2x} \neq \pm f(x)$$ Функция общего вида. 3. **Точки пересечения с осями:** - С осью $Oy$: точек пересечения нет, так как $x = 0 \notin D(f)$. - С осью $Ox$: дробь $\frac{1}{x^2 - 2x} = 0$ не имеет решений, график не пересекает ось $Ox$. 4. **Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты: $x = 0$ и $x = 2$. - При $x \to 0^-$: $f(x) \to +\infty$; при $x \to 0^+$: $f(x) \to -\infty$. - При $x \to 2^-$: $f(x) \to -\infty$; при $x \to 2^+$: $f(x) \to +\infty$. - Горизонтальная асимптота: $y = 0$, так как при $x \to \pm\infty$ дробь стремится к нулю. 5. **Монотонность и экстремумы:** $$f'(x) = -\frac{(x^2 - 2x)'}{(x^2 - 2x)^2} = -\frac{2x - 2}{(x^2 - 2x)^2} = \frac{2(1 - x)}{(x^2 - 2x)^2}$$ Знаменатель положителен на всей области определения. - $f'(x) = 0 \iff 1 - x = 0 \iff x = 1$. - При $x < 0$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); - При $0 < x < 1$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); - При $1 < x < 2$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); - При $x > 2$: $f'(x) < 0$ (функция убывает). Точка $x = 1$ — точка локального максимума: $$f_{\max} = f(1) = \frac{1}{1 - 2} = -1$$ Координаты вершины: $(1; -1)$. 6. **Построение графика:** - Проводим вертикальные асимптоты $x = 0$ (ось $Oy$) и $x = 2$, горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось $Ox$). - На интервале $(-\infty; 0)$ ветвь лежит выше оси $Ox$, возрастает от $0$ до $+\infty$ (дополнительная точка: $(-1; \frac{1}{3})$). - На интервале $(0; 2)$ ветвь расположена в нижней полуплоскости с вершиной в точке максимума $(1; -1)$, ветви направлены вниз к $-\infty$ вдоль прямых $x = 0$ и $x = 2$. - На интервале $(2; +\infty)$ ветвь лежит выше оси $Ox$, убывает от $+\infty$ до $0$ (дополнительная точка: $(3; \frac{1}{3})$). --- ### 3) $f(x) = \frac{1 + x^2}{1 - x^2}$ 1. **Область определения:** $$1 - x^2 \neq 0 \iff x \neq \pm 1$$ $$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$$ 2. **Четность:** $$f(-x) = \frac{1 + (-x)^2}{1 - (-x)^2} = \frac{1 + x^2}{1 - x^2} = f(x)$$ Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \implies (0; 1)$. - С осью $Ox$: $1 + x^2 = 0$ не имеет действительных корней, пересечений нет. 4. **Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты: $x = -1$ и $x = 1$. - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + x^2}{1 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2(\frac{1}{x^2} + 1)}{x^2(\frac{1}{x^2} - 1)} = -1$$ Прямая $y = -1$. 5. **Монотонность и экстремумы:** $$f'(x) = \frac{(1 + x^2)'(1 - x^2) - (1 + x^2)(1 - x^2)'}{(1 - x^2)^2} = \frac{2x(1 - x^2) - (1 + x^2)(-2x)}{(1 - x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x - 2x^3 + 2x + 2x^3}{(1 - x^2)^2} = \frac{4x}{(1 - x^2)^2}$$ - $f'(x) = 0 \iff x = 0$. - При $x < 0$ ($x \neq -1$): $f'(x) < 0$ (функция убывает); - При $x > 0$ ($x \neq 1$): $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Точка $x = 0$ — точка локального минимума: $f_{\min} = f(0) = 1$. 6. **Построение графика:** - Проводим асимптоты $x = -1$, $x = 1$ и $y = -1$. - На интервале $(-1; 1)$ функция лежит выше оси $Ox$, имеет минимум в точке $(0; 1)$ и уходит к $+\infty$ при приближении к асимптотам $x = \pm 1$. - На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$ функция лежит ниже асимптоты $y = -1$: при $x \in (-\infty; -1)$ убывает от $-1$ до $-\infty$, а при $x \in (1; +\infty)$ возрастает от $-\infty$ до $-1$ (дополнительные точки: $(\pm 2; -\frac{5}{3})$). --- ### 4) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 1. **Область определения:** Знаменатель $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$. $$D(f) = (-\infty; +\infty)$$ 2. **Четность:** $$f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = f(x)$$ Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями:** - С осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = \frac{1}{0 + 1} = 1 \implies (0; 1)$. - С осью $Ox$: дробь не обращается в ноль, пересечений нет (график лежит строго выше оси $Ox$, так как $f(x) > 0$). 4. **Асимптоты:** - Вертикальных асимптот нет. - Горизонтальная асимптота: $y = 0$, так как при $x \to \pm\infty$ значение $f(x) \to 0$. 5. **Монотонность и экстремумы:** $$f'(x) = -\frac{(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$ - $f'(x) = 0 \iff x = 0$. - При $x < 0$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); - При $x > 0$: $f'(x) < 0$ (функция убывает). Точка $x = 0$ — точка максимума: $$f_{\max} = f(0) = 1$$ 6. **Построение графика:** - Отмечаем максимум $(0; 1)$. - Вычисляем контрольные точки: $(\pm 1; 0{,}5)$, $(\pm 2; 0{,}2)$, $(\pm 3; 0{,}1)$. - Строим колоколообразную кривую («локон Аньези»), симметричную относительно оси $Oy$, плавно прижимающуюся к оси $Ox$ при $x \to \pm\infty$. --- ### 5) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$ 1. **Область определения:** $$x^2 - 9 \neq 0 \iff x \neq \pm 3$$ $$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$$ 2. **Четность:** $$f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 - 9} = -\frac{3x}{x^2 - 9} = -f(x)$$ Функция нечетная, ее график центрально-симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 3. **Точки пересечения с осями:** - $f(0) = 0$, график проходит через начало координат $(0; 0)$. 4. **Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты: $x = -3$ и $x = 3$. - Горизонтальная асимптота: $y = 0$, так как степень числителя меньше степени знаменателя: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2 - 9} = 0$$ 5. **Монотонность и экстремумы:** $$f'(x) = \frac{3(x^2 - 9) - 3x \cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{3x^2 - 27 - 6x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-3x^2 - 27}{(x^2 - 9)^2} = -\frac{3(x^2 + 9)}{(x^2 - 9)^2}$$ Так как числитель $3(x^2 + 9) > 0$ и знаменатель $(x^2 - 9)^2 > 0$ при всех $x \in D(f)$, то: $$f'(x) < 0 \quad \text{при всех } x \in D(f)$$ Функция строго убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Экстремумов нет. 6. **Построение графика:** - Проводим асимптоты: $x = -3$, $x = 3$ и $y = 0$. - На интервале $(-3; 3)$ ветвь проходит через $(0; 0)$, убывая от $+\infty$ (при $x \to -3^+$) до $-\infty$ (при $x \to 3^-$). - На интервале $(-\infty; -3)$ ветвь лежит ниже оси $Ox$, убывает от $0$ до $-\infty$ (дополнительная точка: $(-4; -\frac{12}{7}) \approx (-4; -1{,}7)$). - На интервале $(3; +\infty)$ ветвь лежит выше оси $Ox$, убывает от $+\infty$ до $0$ (дополнительная точка: $(4; \frac{12}{7}) \approx (4; 1{,}7)$). --- ### 6) $f(x) = \frac{2x}{(x + 1)^2}$ 1. **Область определения:** $$x + 1 \neq 0 \iff x \neq -1$$ $$D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$$ 2. **Точки пересечения с осями:** - $f(0) = 0$, график проходит через точку $(0; 0)$. 3. **Асимптоты:** - Вертикальная асимптота: $x = -1$. При $x \to -1^-$ и при $x \to -1^+$ знаменатель $(x + 1)^2 \to 0^+$, а числитель $2x \to -2 < 0$, следовательно, $\lim_{x \to -1} f(x) = -\infty$ с обеих сторон. - Горизонтальная асимптота: $y = 0$, так как степень знаменателя больше степени числителя: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{(x + 1)^2} = 0$$ 4. **Монотонность и экстремумы:** $$f'(x) = \frac{2(x + 1)^2 - 2x \cdot 2(x + 1)}{(x + 1)^4} = \frac{2(x + 1) - 4x}{(x + 1)^3} = \frac{2 - 2x}{(x + 1)^3} = \frac{2(1 - x)}{(x + 1)^3}$$ - $f'(x) = 0 \iff x = 1$. - Критическая точка знаменателя: $x = -1$. - Определим знаки $f'(x)$: - при $x < -1$: $f'(x) = \frac{+}{-} < 0$ (функция убывает); - при $-1 < x < 1$: $f'(x) = \frac{+}{+} > 0$ (функция возрастает); - при $x > 1$: $f'(x) = \frac{-}{+} < 0$ (функция убывает). Точка $x = 1$ — точка локального максимума: $$f_{\max} = f(1) = \frac{2 \cdot 1}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 5. **Построение графика:** - Проводим вертикальную асимптоту $x = -1$ и горизонтальную асимптоту $y = 0$ (ось $Ox$). - На луче $(-\infty; -1)$ функция отрицательна, убывает от $0$ (при $x \to -\infty$) до $-\infty$ (при $x \to -1^-$); дополнительная точка: $(-2; -4)$. - На промежутке $(-1; +\infty)$ график выходит из $-\infty$ снизу вдоль асимптоты $x = -1$, пересекает ось $Ox$ в точке $(0; 0)$, поднимается до максимума в точке $(1; 0{,}5)$, после чего плавно убывает, приближаясь сверху к горизонтальной асимптоте $y = 0$ (дополнительная точка: $(3; \frac{3}{8}) = (3; 0{,}375)$).