ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 9 - 9.2

### 1) $f(x) = x^3 + 3x^2$ 1. **Область определения:** Функция определена на всем множестве действительных чисел: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. **Четность, нечетность:** $$ f(-x) = (-x)^3 + 3(-x)^2 = -x^3 + 3x^2 $$ Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). 3. **Точки пересечения графика с осями координат:** * С осью $Oy$ ($x = 0$): $$ f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 = 0 \implies (0; 0) $$ * С осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $$ x^3 + 3x^2 = 0 \iff x^2(x + 3) = 0 \implies x_1 = 0, \; x_2 = -3 $$ Точки пересечения: $(-3; 0)$ и $(0; 0)$. 4. **Промежутки знакопостоянства:** * $f(x) > 0$ при $x \in (-3; 0) \cup (0; +\infty)$; * $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -3)$. 5. **Производная, промежутки монотонности и экстремумы:** $$ f'(x) = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) $$ Найдем критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff 3x(x + 2) = 0 \implies x_1 = -2, \; x_2 = 0 $$ Определим знаки производной методом интервалов: * на интервале $(-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; * на интервале $(-2; 0)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; * на интервале $(0; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. Точки экстремума: * $x_{\max} = -2$, значение максимума: $$ f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4 $$ Точка максимума: $(-2; 4)$. * $x_{\min} = 0$, значение минимума: $$ f(0) = 0 $$ Точка минимума: $(0; 0)$. 6. **Вторая производная и точки перегиба:** $$ f''(x) = (3x^2 + 6x)' = 6x + 6 = 6(x + 1) $$ $$ f''(x) = 0 \iff 6(x + 1) = 0 \implies x = -1 $$ * при $x < -1$: $f''(x) < 0$ — график выпукл вверх; * при $x > -1$: $f''(x) > 0$ — график выпукл вниз. Значение функции в точке перегиба: $$ f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2 $$ Точка перегиба: $(-1; 2)$. 7. **Построение графика:** * Отмечаем характерные точки: нули функции $(-3; 0)$ и $(0; 0)$, максимум $(-2; 4)$, перегиб $(-1; 2)$, минимум $(0; 0)$. * Дополнительная точка: $f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 = 4 \implies (1; 4)$. * Проводим плавную кривую: от $-\infty$ функция возрастает до локального максимума $(-2; 4)$, убывает через точку перегиба $(-1; 2)$ до минимума $(0; 0)$, затем неограниченно возрастает в $+\infty$. --- ### 2) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$ 1. **Область определения:** $$ D(f) = \mathbb{R} $$ 2. **Четность, нечетность:** $$ f(-x) = 4(-x) - \frac{1}{3}(-x)^3 = -4x + \frac{1}{3}x^3 = -\left(4x - \frac{1}{3}x^3\right) = -f(x) $$ Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = 0 \implies (0; 0)$. * С осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $$ 4x - \frac{1}{3}x^3 = 0 \iff x\left(4 - \frac{1}{3}x^2\right) = 0 $$ $$ x_1 = 0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{3}x^2 = 4 \implies x^2 = 12 \implies x_{2,3} = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3{,}46 $$ Точки пересечения: $(-2\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{3}; 0)$. 4. **Производная, промежутки монотонности и экстремумы:** $$ f'(x) = \left(4x - \frac{1}{3}x^3\right)' = 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) $$ Критические точки: $$ f'(x) = 0 \iff 4 - x^2 = 0 \implies x_1 = -2, \; x_2 = 2 $$ Знаки производной: * на интервале $(-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; * на интервале $(-2; 2)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; * на интервале $(2; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. Экстремумы: * $x_{\min} = -2$, $$ f(-2) = 4(-2) - \frac{1}{3}(-2)^3 = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3} $$ Точка минимума: $\left(-2; -5\frac{1}{3}\right)$. * $x_{\max} = 2$, $$ f(2) = 4 \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 2^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} $$ Точка максимума: $\left(2; 5\frac{1}{3}\right)$. 5. **Вторая производная и точки перегиба:** $$ f''(x) = (4 - x^2)' = -2x $$ $$ f''(x) = 0 \iff x = 0 $$ * при $x < 0$: $f''(x) > 0$ — график выпукл вниз; * при $x > 0$: $f''(x) < 0$ — график выпукл вверх. Точка перегиба: $(0; 0)$. 6. **Построение графика:** * Отмечаем нули $(-2\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{3}; 0)$, минимум $\left(-2; -5\frac{1}{3}\right)$ и максимум $\left(2; 5\frac{1}{3}\right)$. * Дополнительные точки: $f(-3) = -12 + 9 = -3$, $f(3) = 12 - 9 = 3$. * График идет из $+\infty$ при $x \to -\infty$, убывает до минимума в точке $\left(-2; -5\frac{1}{3}\right)$, возрастает через начало координат до максимума в точке $\left(2; 5\frac{1}{3}\right)$, после чего убывает в $-\infty$. --- ### 3) $f(x) = x - x^3$ 1. **Область определения:** $$ D(f) = \mathbb{R} $$ 2. **Четность, нечетность:** $$ f(-x) = (-x) - (-x)^3 = -x + x^3 = -(x - x^3) = -f(x) $$ Функция нечетная, график симметричен относительно точки $(0; 0)$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$: $(0; 0)$. * С осью $Ox$: $$ x - x^3 = 0 \iff x(1 - x^2) = 0 \iff x(1 - x)(1 + x) = 0 $$ Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. Точки пересечения: $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$. 4. **Производная, промежутки монотонности и экстремумы:** $$ f'(x) = 1 - 3x^2 $$ Критические точки: $$ 1 - 3x^2 = 0 \implies x^2 = \frac{1}{3} \implies x_{1,2} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \approx \pm 0{,}58 $$ Знаки производной: * на интервале $\left(-\infty; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; * на интервале $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; * на интервале $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}; +\infty\right)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. Экстремумы: * $x_{\min} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$, $$ f\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = -\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{9} = -\frac{2\sqrt{3}}{9} \approx -0{,}38 $$ Точка минимума: $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)$. * $x_{\max} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $$ f\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}38 $$ Точка максимума: $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{9}\right)$. 5. **Вторая производная и точка перегиба:** $$ f''(x) = -6x $$ $$ f''(x) = 0 \iff x = 0 $$ * при $x < 0$: $f''(x) > 0$ — график выпукл вниз; * при $x > 0$: $f''(x) < 0$ — график выпукл вверх. Точка перегиба: $(0; 0)$. 6. **Построение графика:** * Наносим точки $(-1; 0)$, $(0; 0)$, $(1; 0)$, точки экстремумов $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{2\sqrt{3}}{9}\right)$ и $\left(\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{2\sqrt{3}}{9}\right)$. * Дополнительные точки: $f(-2) = -2 - (-8) = 6$, $f(2) = 2 - 8 = -6$. * График идет из $+\infty$, убывает до точки локального минимума, возрастает через начало координат до точки локального максимума, затем убывает в $-\infty$. --- ### 4) $f(x) = \frac{x^4}{2} - 4x^2$ 1. **Область определения:** $$ D(f) = \mathbb{R} $$ 2. **Четность, нечетность:** $$ f(-x) = \frac{(-x)^4}{2} - 4(-x)^2 = \frac{x^4}{2} - 4x^2 = f(x) $$ Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$: $x = 0 \implies f(0) = 0$, точка $(0; 0)$. * С осью $Ox$: $$ \frac{x^4}{2} - 4x^2 = 0 \iff x^2\left(\frac{x^2}{2} - 4\right) = 0 $$ $$ x^2 = 0 \implies x_1 = 0 $$ $$ x^2 = 8 \implies x_{2,3} = \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2{,}83 $$ Точки пересечения: $(-2\sqrt{2}; 0)$, $(0; 0)$, $(2\sqrt{2}; 0)$. 4. **Производная, промежутки монотонности и экстремумы:** $$ f'(x) = \left(\frac{x^4}{2} - 4x^2\right)' = 2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x - 2)(x + 2) $$ Критические точки: $$ 2x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x_1 = -2, \; x_2 = 0, \; x_3 = 2 $$ Знаки производной: * на интервале $(-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; * на интервале $(-2; 0)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; * на интервале $(0; 2)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; * на интервале $(2; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. Экстремумы: * $x_{\min} = -2$, $$ f(-2) = \frac{(-2)^4}{2} - 4(-2)^2 = 8 - 16 = -8 $$ Точка минимума: $(-2; -8)$. * $x_{\max} = 0$, $$ f(0) = 0 $$ Точка максимума: $(0; 0)$. * $x_{\min} = 2$, $$ f(2) = \frac{2^4}{2} - 4 \cdot 2^2 = 8 - 16 = -8 $$ Точка минимума: $(2; -8)$. 5. **Вторая производная и точки перегиба:** $$ f''(x) = (2x^3 - 8x)' = 6x^2 - 8 = 2(3x^2 - 4) $$ $$ f''(x) = 0 \iff 3x^2 = 4 \implies x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}15 $$ Значение функции в точках перегиба: $$ f\left(\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{9} - 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{9} - \frac{16}{3} = -\frac{40}{9} = -4\frac{4}{9} $$ Точки перегиба: $\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; -4\frac{4}{9}\right)$ и $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}; -4\frac{4}{9}\right)$. 6. **Построение графика:** * График имеет W-образную форму, симметричную относительно оси $Oy$. * Наносим точки: минимумы $(-2; -8)$ и $(2; -8)$, максимум $(0; 0)$, нули $(-2\sqrt{2}; 0)$ и $(2\sqrt{2}; 0)$. * Дополнительные точки: $f(\pm 3) = \frac{81}{2} - 36 = 4{,}5 \implies (\pm 3; 4{,}5)$. * Соединяем точки плавной линией с учетом промежутков возрастания и убывания. --- ### 5) $f(x) = 8x^2 - 7 - x^4$ 1. **Область определения:** $$ D(f) = \mathbb{R} $$ 2. **Четность, нечетность:** Запишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -x^4 + 8x^2 - 7$. $$ f(-x) = -(-x)^4 + 8(-x)^2 - 7 = -x^4 + 8x^2 - 7 = f(x) $$ Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями координат:** * С осью $Oy$: $x = 0 \implies f(0) = -7$, точка $(0; -7)$. * С осью $Ox$: $$ -x^4 + 8x^2 - 7 = 0 \iff x^4 - 8x^2 + 7 = 0 $$ Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$), тогда: $$ t^2 - 8t + 7 = 0 \implies t_1 = 1, \; t_2 = 7 $$ Возвращаемся к переменной $x$: $$ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 $$ $$ x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7} \approx \pm 2{,}65 $$ Точки пересечения: $(-\sqrt{7}; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(\sqrt{7}; 0)$. 4. **Производная, промежутки монотонности и экстремумы:** $$ f'(x) = (-x^4 + 8x^2 - 7)' = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 - 4) = -4x(x - 2)(x + 2) $$ Критические точки: $$ -4x(x - 2)(x + 2) = 0 \implies x_1 = -2, \; x_2 = 0, \; x_3 = 2 $$ Знаки производной: * на интервале $(-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; * на интервале $(-2; 0)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; * на интервале $(0; 2)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; * на интервале $(2; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. Экстремумы: * $x_{\max} = -2$, $$ f(-2) = 8(-2)^2 - 7 - (-2)^4 = 32 - 7 - 16 = 9 $$ Точка максимума: $(-2; 9)$. * $x_{\min} = 0$, $$ f(0) = -7 $$ Точка минимума: $(0; -7)$. * $x_{\max} = 2$, $$ f(2) = 8(2)^2 - 7 - 2^4 = 32 - 7 - 16 = 9 $$ Точка максимума: $(2; 9)$. 5. **Вторая производная и точки перегиба:** $$ f''(x) = (-4x^3 + 16x)' = -12x^2 + 16 = 4(4 - 3x^2) $$ $$ f''(x) = 0 \iff 3x^2 = 4 \implies x = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \pm 1{,}15 $$ Значение функции в точках перегиба: $$ f\left(\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 8 \cdot \frac{4}{3} - 7 - \frac{16}{9} = \frac{32}{3} - 7 - \frac{16}{9} = \frac{17}{9} = 1\frac{8}{9} $$ Точки перегиба: $\left(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 1\frac{8}{9}\right)$ и $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 1\frac{8}{9}\right)$. 6. **Построение графика:** * График имеет M-образную форму, симметричную относительно оси $Oy$. * Наносим точки: максимумы $(-2; 9)$ и $(2; 9)$, минимум $(0; -7)$, нули функции $(\pm 1; 0)$ и $(\pm \sqrt{7}; 0)$. * График выходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума $(-2; 9)$, пересекая ось $Ox$ в точке $(-\sqrt{7}; 0)$; далее убывает через точку $(-1; 0)$ до локального минимума $(0; -7)$; затем симметрично возрастает через $(1; 0)$ до максимума $(2; 9)$ и убывает в $-\infty$, пересекая ось $Ox$ в точке $(\sqrt{7}; 0)$.