ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 9 - 9.3

### 1) $f(x) = \frac{4 - x}{x + 2}$ 1. **Область определения:** $$x + 2 \neq 0 \implies D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$$ 2. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = \frac{4 - 0}{0 + 2} = 2$, точка $(0; 2)$; - с осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $4 - x = 0 \implies x = 4$, точка $(4; 0)$. 3. **Асимптоты:** - Вертикальная асимптота: прямая $x = -2$. $$\lim_{x \to -2^-} \frac{4 - x}{x + 2} = -\infty, \quad \lim_{x \to -2^+} \frac{4 - x}{x + 2} = +\infty$$ - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - x}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} - 1}{1 + \frac{2}{x}} = -1 \implies y = -1$$ 4. **Преобразование формулы и производная:** $$f(x) = \frac{-(x + 2) + 6}{x + 2} = -1 + \frac{6}{x + 2}$$ $$f'(x) = -\frac{6}{(x + 2)^2} < 0 \quad \text{при всех } x \neq -2$$ Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$. Точек экстремума нет. 5. **Построение:** график представляет собой гиперболу, смещенную влево на $2$ единицы и вниз на $1$ единицу, с асимптотами $x = -2$ и $y = -1$. Проходит через точки $(0; 2)$, $(4; 0)$, $(-3; -7)$, $(1; 1)$. --- ### 2) $f(x) = \frac{2}{x^2 - 1}$ 1. **Область определения:** $$x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1 \implies D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$$ 2. **Четность:** $$f(-x) = \frac{2}{(-x)^2 - 1} = \frac{2}{x^2 - 1} = f(x)$$ Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = \frac{2}{0 - 1} = -2$, точка $(0; -2)$; - с осью $Ox$: $f(x) = 0$ решений не имеет (график не пересекает ось $Ox$). 4. **Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты: прямые $x = -1$ и $x = 1$. $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$$ - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2 - 1} = 0 \implies y = 0$$ 5. **Возрастание, убывание и экстремумы:** $$f'(x) = 2 \cdot \frac{-(2x)}{(x^2 - 1)^2} = -\frac{4x}{(x^2 - 1)^2}$$ Критическая точка: $x = 0$. - При $x < -1$ и $-1 < x < 0$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - При $0 < x < 1$ и $x > 1$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = 0$ — точка максимума: $f_{\max} = f(0) = -2$. 6. **Построение:** график состоит из трех ветвей. При $|x| > 1$ ветви лежат выше оси $Ox$, приближаясь к асимптотам $x = \pm 1$ и $y = 0$. В интервале $(-1; 1)$ расположена «параболообразная» дуга вершиной в точке $(0; -2)$, уходящая ветвями вниз к $-\infty$ вдоль прямых $x = \pm 1$. Дополнительные точки: $\left(\pm 2; \frac{2}{3}\right)$, $(\pm 3; 0{,}25)$. --- ### 3) $f(x) = \frac{6x - 6}{x^2 + 3}$ 1. **Область определения:** Знаменатель $x^2 + 3 > 0$ при всех $x$, следовательно, $D(f) = \mathbb{R}$. Вертикальных асимптот нет. 2. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = \frac{-6}{3} = -2$, точка $(0; -2)$; - с осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $6x - 6 = 0 \implies x = 1$, точка $(1; 0)$. 3. **Асимптоты:** - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x - 6}{x^2 + 3} = 0 \implies y = 0$$ 4. **Возрастание, убывание и экстремумы:** $$f'(x) = \frac{6(x^2 + 3) - (6x - 6) \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{6x^2 + 18 - 12x^2 + 12x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-6x^2 + 12x + 18}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-6(x^2 - 2x - 3)}{(x^2 + 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{-6(x - 3)(x + 1)}{(x^2 + 3)^2}$$ Критические точки: $x = -1$ и $x = 3$. - На промежутках $(-\infty; -1)$ и $(3; +\infty)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - На промежутке $(-1; 3)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. Точка минимума: $x = -1$, $f_{\min} = f(-1) = \frac{-12}{4} = -3$. Точка максимума: $x = 3$, $f_{\max} = f(3) = \frac{12}{12} = 1$. 5. **Построение:** плавный непрерывный график. При $x \to -\infty$ стремится снизу к $y = 0$, достигает локального минимума в $(-1; -3)$, пересекает ось $Oy$ в $(0; -2)$, пересекает ось $Ox$ в $(1; 0)$, поднимается до максимума $(3; 1)$ и далее постепенно опускается, стремясь сверху к оси $Ox$ ($y = 0$). --- ### 4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$ 1. **Область определения:** $$x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 \implies D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$$ 2. **Четность:** $$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 9}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} = f(x)$$ Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = \frac{-9}{-4} = 2{,}25$, точка $(0; 2{,}25)$; - с осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3$, точки $(-3; 0)$ и $(3; 0)$. 4. **Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты: прямые $x = -2$ и $x = 2$. - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} = 1 \implies y = 1$$ 5. **Возрастание, убывание и экстремумы:** $$f(x) = 1 - \frac{5}{x^2 - 4}$$ $$f'(x) = -5 \cdot \frac{-(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{10x}{(x^2 - 4)^2}$$ Критическая точка: $x = 0$. - При $x < -2$ и $-2 < x < 0$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - При $0 < x < 2$ и $x > 2$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает. В точке $x = 0$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 0$ — точка локального минимума: $f_{\min} = f(0) = 2{,}25$. 6. **Построение:** - На интервале $(-2; 2)$: кривая формы «чаши» с вершиной в точке минимума $(0; 2{,}25)$, обе ветви уходят вверх к $+\infty$ вдоль прямых $x = -2$ и $x = 2$. - При $|x| > 2$: ветви выходят из $-\infty$ около асимптот $x = \pm 2$, пересекают ось $Ox$ в точках $(\pm 3; 0)$ и снизу приближаются к горизонтальной асимптоте $y = 1$. --- ### 5) $f(x) = \frac{x}{4 - x^2}$ 1. **Область определения:** $$4 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 \implies D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$$ 2. **Четность:** $$f(-x) = \frac{-x}{4 - (-x)^2} = -\frac{x}{4 - x^2} = -f(x)$$ Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$. 3. **Точки пересечения с осями:** Только начало координат: $f(0) = 0$, точка $(0; 0)$. 4. **Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты: прямые $x = -2$ и $x = 2$. - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{4 - x^2} = 0 \implies y = 0$$ 5. **Возрастание, убывание и экстремумы:** $$f'(x) = \frac{1 \cdot (4 - x^2) - x \cdot (-2x)}{(4 - x^2)^2} = \frac{4 - x^2 + 2x^2}{(4 - x^2)^2} = \frac{x^2 + 4}{(4 - x^2)^2} > 0 \quad \text{при всех } x \neq \pm 2$$ Функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$. Точек экстремума нет. 6. **Построение:** - При $x \in (-\infty; -2)$: график возрастает от $0$ до $+\infty$ вдоль $x = -2$; - При $x \in (-2; 2)$: кривая возрастает от $-\infty$ (возле $x = -2$), проходит через начало координат $(0; 0)$ и уходит в $+\infty$ к $x = 2$; - При $x \in (2; +\infty)$: ветвь возрастает от $-\infty$ (возле $x = 2$) и снизу приближается к $y = 0$. Дополнительные точки: $\left(1; \frac{1}{3}\right)$, $\left(-1; -\frac{1}{3}\right)$, $\left(3; -0{,}6\right)$, $\left(-3; 0{,}6\right)$. --- ### 6) $f(x) = -\frac{2x}{x^2 + 1}$ 1. **Область определения:** Знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при всех $x$, поэтому $D(f) = \mathbb{R}$. Вертикальных асимптот нет. 2. **Четность:** $$f(-x) = -\frac{2(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{2x}{x^2 + 1} = -f(x)$$ Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. 3. **Точки пересечения с осями:** Единственная точка пересечения с обеими осями — $(0; 0)$. 4. **Асимптоты:** - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \pm\infty} -\frac{2x}{x^2 + 1} = 0 \implies y = 0$$ 5. **Возрастание, убывание и экстремумы:** $$f'(x) = -2 \cdot \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = -2 \cdot \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{(x^2 + 1)^2}$$ Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$. - На интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - На интервале $(-1; 1)$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. Точка максимума: $x = -1$, $f_{\max} = f(-1) = -\frac{-2}{2} = 1$. Точка минимума: $x = 1$, $f_{\min} = f(1) = -\frac{2}{2} = -1$. 6. **Построение:** гладкая S-образная кривая. При $x \to -\infty$ стремится к $y = 0$ снизу, поднимается до точки максимума $(-1; 1)$, убывает через точку $(0; 0)$ до точки минимума $(1; -1)$, после чего плавно возрастает и снизу стремится к оси $Ox$ ($y = 0$). --- ### 7) $f(x) = \frac{2(x - 1)}{x^2} = \frac{2x - 2}{x^2}$ 1. **Область определения:** $$x^2 \neq 0 \implies x \neq 0 \implies D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$ 2. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$: точек нет ($x \neq 0$); - с осью $Ox$ ($f(x) = 0$): $2(x - 1) = 0 \implies x = 1$, точка $(1; 0)$. 3. **Асимптоты:** - Вертикальная асимптота: ось $Oy$ ($x = 0$). $$\lim_{x \to 0^-} \frac{2(x - 1)}{x^2} = -\infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \frac{2(x - 1)}{x^2} = -\infty$$ - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 2}{x^2} = 0 \implies y = 0$$ 4. **Возрастание, убывание и экстремумы:** $$f(x) = \frac{2}{x} - \frac{2}{x^2}$$ $$f'(x) = -\frac{2}{x^2} - 2 \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) = -\frac{2}{x^2} + \frac{4}{x^3} = \frac{-2x + 4}{x^3} = \frac{2(2 - x)}{x^3}$$ Критическая точка: $x = 2$ (точка $x = 0$ не входит в область определения). - При $x < 0$: $f'(x) < 0$ — функция убывает; - При $0 < x < 2$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - При $x > 2$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = 2$ — точка максимума: $$f_{\max} = f(2) = \frac{2(2 - 1)}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5$$ 5. **Построение:** - Левая ветвь ($x < 0$): лежит полностью под осью $Ox$, монотонно убывает от $0$ (при $x \to -\infty$) вниз к $-\infty$ вдоль вертикальной асимптоты $x = 0$. Точка: $(-1; -4)$, $(-2; -1{,}5)$. - Правая ветвь ($x > 0$): выходит из $-\infty$ вдоль $x = 0$, пересекает ось $Ox$ в точке $(1; 0)$, достигает максимума в точке $(2; 0{,}5)$, затем плавно убывает и сверху приближается к оси $Ox$ ($y = 0$). --- ### 8) $f(x) = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}$ 1. **Область определения:** $$x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 \implies D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$$ 2. **Четность:** $$f(-x) = \frac{(-x)^2 + 4}{(-x)^2 - 4} = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = f(x)$$ Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$. 3. **Точки пересечения с осями:** - с осью $Oy$ ($x = 0$): $f(0) = \frac{4}{-4} = -1$, точка $(0; -1)$; - с осью $Ox$: $x^2 + 4 = 0$ действительных корней не имеет (график не пересекает ось $Ox$). 4. **Асимптоты:** - Вертикальные асимптоты: прямые $x = -2$ и $x = 2$. - Горизонтальная асимптота: $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} = 1 \implies y = 1$$ 5. **Возрастание, убывание и экстремумы:** $$f(x) = \frac{(x^2 - 4) + 8}{x^2 - 4} = 1 + \frac{8}{x^2 - 4}$$ $$f'(x) = -\frac{8 \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = -\frac{16x}{(x^2 - 4)^2}$$ Критическая точка: $x = 0$. - При $x < -2$ и $-2 < x < 0$: $f'(x) > 0$ — функция возрастает; - При $0 < x < 2$ и $x > 2$: $f'(x) < 0$ — функция убывает. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = 0$ — точка локального максимума: $$f_{\max} = f(0) = -1$$ 6. **Построение:** - На интервале $(-2; 2)$: «колоколообразная» ветвь, расположенная ниже оси $Ox$, с вершиной в точке максимума $(0; -1)$; при приближении к $x = -2$ и $x = 2$ обе стороны ветви уходят вниз к $-\infty$. - При $|x| > 2$: обе ветви лежат выше горизонтальной асимптоты $y = 1$. При $x \to \pm 2$ (снаружи) значения уходят в $+\infty$, а при $|x| \to \infty$ ветви сверху приближаются к прямой $y = 1$. Дополнительные точки: $\left(\pm 3; \frac{13}{5}\right) = (\pm 3; 2{,}6)$, $\left(\pm 4; \frac{20}{12}\right) = \left(\pm 4; 1\frac{2}{3}\right)$.