ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 6 - 6.4

**1)** $f(x) = 3x^4 - 20x^3 + 36x^2 - 4$ 1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Функция непрерывна на всей числовой прямой. 2. Найдем производную: $$ f'(x) = 12x^3 - 60x^2 + 72x = 12x(x^2 - 5x + 6) = 12x(x - 2)(x - 3) $$ 3. Найдем критические точки: $$ 12x(x - 2)(x - 3) = 0 \iff x_1 = 0, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 3 $$ 4. Определим знаки производной методом интервалов: * на $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$; * на $(0; 2)$: $f'(x) > 0$; * на $(2; 3)$: $f'(x) < 0$; * на $(3; +\infty)$: $f'(x) > 0$. Так как функция непрерывна в точках $0$, $2$ и $3$, эти точки включаются в промежутки монотонности. **Ответ:** функция возрастает на $[0; 2]$ и $[3; +\infty)$; убывает на $(-\infty; 0]$ и $[2; 3]$. --- **2)** $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$ 1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдем производную: $$ f'(x) = 12x^2 - 4x^3 = 4x^2(3 - x) $$ 3. Найдем критические точки: $$ 4x^2(3 - x) = 0 \iff x_1 = 0, \quad x_2 = 3 $$ 4. Определим знаки производной: * на $(-\infty; 0)$: $f'(x) > 0$; * на $(0; 3)$: $f'(x) > 0$; * на $(3; +\infty)$: $f'(x) < 0$. При переходе через точку $x = 0$ производная не меняет знак ($f'(x) \geqslant 0$ при $x < 3$). Поскольку функция непрерывна на $\mathbb{R}$, промежутки объединяются. **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; 3]$; убывает на $[3; +\infty)$. --- **3)** $f(x) = \frac{2x - 9}{x - 5}$ 1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$. 2. Найдем производную по правилу дифференцирования дроби: $$ f'(x) = \frac{(2x - 9)'(x - 5) - (2x - 9)(x - 5)'}{(x - 5)^2} = \frac{2(x - 5) - (2x - 9)\cdot 1}{(x - 5)^2} = \frac{2x - 10 - 2x + 9}{(x - 5)^2} = \frac{-1}{(x - 5)^2} $$ 3. Для любого $x \neq 5$ знаменатель $(x - 5)^2 > 0$, следовательно: $$ f'(x) = -\frac{1}{(x - 5)^2} < 0 $$ Производная отрицательна на каждом из интервалов области определения. **Ответ:** функция убывает на $(-\infty; 5)$ и на $(5; +\infty)$; промежутков возрастания нет. --- **4)** $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$ 1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$. 2. Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{(x^2 + 5x)'(x - 4) - (x^2 + 5x)(x - 4)'}{(x - 4)^2} = \frac{(2x + 5)(x - 4) - (x^2 + 5x)\cdot 1}{(x - 4)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{2x^2 - 8x + 5x - 20 - x^2 - 5x}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x - 4)^2} = \frac{(x - 10)(x + 2)}{(x - 4)^2} $$ 3. Найдем нули производной: $$ (x - 10)(x + 2) = 0 \iff x_1 = -2, \quad x_2 = 10 $$ 4. Определим знаки производной на интервалах с учетом точки разрыва $x = 4$: * на $(-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$; * на $(-2; 4)$: $f'(x) < 0$; * на $(4; 10)$: $f'(x) < 0$; * на $(10; +\infty)$: $f'(x) > 0$. Точки $x = -2$ и $x = 10$ входят в область определения, поэтому включаются в промежутки монотонности. Точка $x = 4$ не входит в область определения. **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и $[10; +\infty)$; убывает на $[-2; 4)$ и $(4; 10]$. --- **5)** $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2}$ 1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. Найдем производную: $$ f'(x) = 3 + 12 \cdot (-2)x^{-3} = 3 - \frac{24}{x^3} = \frac{3x^3 - 24}{x^3} = \frac{3(x^3 - 8)}{x^3} = \frac{3(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{x^3} $$ 3. Так как $x^2 + 2x + 4 > 0$ при всех $x$ ($D = 4 - 16 < 0$), знак числителя зависит только от $(x - 2)$: $$ f'(x) = 0 \iff x = 2 $$ 4. Определим знаки производной с учетом точки разрыва $x = 0$: * на $(-\infty; 0)$: $x^3 < 0$ и $x - 2 < 0 \implies f'(x) > 0$; * на $(0; 2)$: $x^3 > 0$ и $x - 2 < 0 \implies f'(x) < 0$; * на $(2; +\infty)$: $x^3 > 0$ и $x - 2 > 0 \implies f'(x) > 0$. Точка $x = 2$ входит в область определения функции. **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и $[2; +\infty)$; убывает на $(0; 2]$. --- **6)** $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$ 1. Область определения функции: $x^2 - 4 \neq 0 \iff x \neq \pm 2$, то есть: $$ D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty) $$ 2. Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{(x^2)'(x^2 - 4) - x^2(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x(x^2 - 4) - x^2(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-8x}{(x^2 - 4)^2} $$ 3. Найдем критические точки: $$ -8x = 0 \iff x = 0 $$ 4. Знаменатель $(x^2 - 4)^2 > 0$ при всех $x \in D(f)$, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $-8x$: * на $(-\infty; -2)$: $-8x > 0 \implies f'(x) > 0$; * на $(-2; 0)$: $-8x > 0 \implies f'(x) > 0$; * на $(0; 2)$: $-8x < 0 \implies f'(x) < 0$; * на $(2; +\infty)$: $-8x < 0 \implies f'(x) < 0$. Точка $x = 0$ принадлежит области определения, а точки $x = -2$ и $x = 2$ являются точками разрыва. **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0]$; убывает на $[0; 2)$ и $(2; +\infty)$.