ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 6 - 6.3

### 1) $f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 1$ 1. Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x - 1)(x - 2) $$ 3. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 4x(x - 1)(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 2 $$ 4. Определим знаки производной на полученных интервалах методом интервалов: * на $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(0; 1)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); * на $(1; 2)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(2; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). **Ответ:** функция возрастает на $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$; убывает на $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$. --- ### 2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 7$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = x^3 - x^2 = x^2(x - 1) $$ 3. Критические точки: $$ x^2(x - 1) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 1 $$ 4. Определим знаки производной: * на $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$; * на $(0; 1)$: $f'(x) < 0$; * на $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$. Так как функция непрерывна в точке $x = 0$, промежутки убывания объединяются в один. **Ответ:** функция возрастает на $[1; +\infty)$; убывает на $(-\infty; 1]$. --- ### 3) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x - 6$ 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = x^4 - 10x^2 + 9 $$ 3. Найдём нули производной: $$ x^4 - 10x^2 + 9 = 0 $$ Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$), тогда $t^2 - 10t + 9 = 0$, откуда $t_1 = 1$, $t_2 = 9$. Следовательно: $$ f'(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 9) = (x + 3)(x + 1)(x - 1)(x - 3) = 0 $$ Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$, $x_4 = 3$. 4. Знаки производной: * на $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); * на $(-3; -1)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(-1; 1)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); * на $(1; 3)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(3; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; -3]$, $[-1; 1]$ и $[3; +\infty)$; убывает на $[-3; -1]$ и $[1; 3]$. --- ### 4) $f(x) = x^2 + \frac{2}{x}$ 1. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = 2x - \frac{2}{x^2} = \frac{2x^3 - 2}{x^2} = \frac{2(x^3 - 1)}{x^2} = \frac{2(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2} $$ 3. Так как $x^2 + x + 1 > 0$ при всех $x$, нуль производной: $$ x - 1 = 0 \implies x = 1 $$ Точка $x = 0$ — точка разрыва функции. 4. Знаки производной с учётом области определения: * на $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(0; 1)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). **Ответ:** функция возрастает на $[1; +\infty)$; убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; 1]$. --- ### 5) $f(x) = x + \frac{9}{x}$ 1. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{x^2 - 9}{x^2} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2} $$ 3. Критические точки: $$ x^2 - 9 = 0 \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 3 $$ Точка $x = 0$ не входит в область определения. 4. Знаки производной: * на $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); * на $(-3; 0)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(0; 3)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(3; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; -3]$ и $[3; +\infty)$; убывает на $[-3; 0)$ и $(0; 3]$. --- ### 6) $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x + 2}$ 1. Область определения: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$. 2. Найдём производную по формуле дифференцирования дроби: $$ f'(x) = \frac{(x^2 - 3)'(x + 2) - (x^2 - 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{2x(x + 2) - (x^2 - 3)\cdot 1}{(x + 2)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 3}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)^2} $$ 3. Критические точки: $$ (x + 1)(x + 3) = 0 \implies x_1 = -3, \quad x_2 = -1 $$ Точка $x = -2$ не входит в область определения. 4. Знаки производной: * на $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); * на $(-3; -2)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(-2; -1)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(-1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). **Ответ:** функция возрастает на $(-\infty; -3]$ и $[-1; +\infty)$; убывает на $[-3; -2)$ и $(-2; -1]$. --- ### 7) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{3 - x}$ 1. Область определения: $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$. 2. Заметим, что $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{(2x - 2)(3 - x) - (x^2 - 2x + 1)(-1)}{(3 - x)^2} $$ $$ f'(x) = \frac{6x - 2x^2 - 6 + 2x + x^2 - 2x + 1}{(3 - x)^2} = \frac{-x^2 + 6x - 5}{(3 - x)^2} = -\frac{(x - 1)(x - 5)}{(3 - x)^2} = \frac{(x - 1)(5 - x)}{(3 - x)^2} $$ 3. Критические точки: $$ (x - 1)(5 - x) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 5 $$ Точка $x = 3$ не входит в область определения. 4. Знаки производной: * на $(-\infty; 1)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает); * на $(1; 3)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); * на $(3; 5)$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает); * на $(5; +\infty)$: $f'(x) < 0$ (функция убывает). **Ответ:** функция возрастает на $[1; 3)$ и $(3; 5]$; убывает на $(-\infty; 1]$ и $[5; +\infty)$. --- ### 8) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$ 1. Область определения: $x^2 - 9 \ne 0 \implies D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$. 2. Найдём производную: $$ f'(x) = \frac{1\cdot (x^2 - 9) - x\cdot 2x}{(x^2 - 9)^2} = \frac{x^2 - 9 - 2x^2}{(x^2 - 9)^2} = \frac{-x^2 - 9}{(x^2 - 9)^2} = -\frac{x^2 + 9}{(x^2 - 9)^2} $$ 3. Так как $x^2 + 9 > 0$ и $(x^2 - 9)^2 > 0$ для всех $x \in D(f)$, получаем: $$ f'(x) < 0 \quad \text{при всех } x \in D(f) $$ Следовательно, функция убывает на каждом из интервалов своей области определения. **Ответ:** функция убывает на $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$; промежутков возрастания нет.