ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 6 - 6.2

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (-x^2 + 6x - 5)' = -2x + 6 $$ Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ -2x + 6 = 0 \implies 2x = 6 \implies x = 3 $$ Определим знаки производной на интервалах числовой прямой методом промежуточных значений: * при $x \in (-\infty; 3)$ производная $f'(x) > 0$ (например, $f'(0) = 6 > 0$); * при $x \in (3; +\infty)$ производная $f'(x) < 0$ (например, $f'(4) = -2 < 0$). Так как функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой, граничную точку включают в промежутки монотонности. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$, убывает на промежутке $[3; +\infty)$. 2) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $$ $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$. Разложим производную на множители: $$ f'(x) = 3(x + 3)(x - 1) $$ Определим знаки производной на полученных интервалах методом интервалов: * на интервале $(-\infty; -3)$: $f'(x) > 0$; * на интервале $(-3; 1)$: $f'(x) < 0$; * на интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$. Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-3; 1]$. 3) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1\right)' = x^3 - 4x $$ Приравняем производную к нулю: $$ x^3 - 4x = 0 $$ $$ x(x^2 - 4) = 0 $$ $$ x(x - 2)(x + 2) = 0 $$ Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. Определим знаки производной на интервалах: * на интервале $(-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$; * на интервале $(-2; 0)$: $f'(x) > 0$; * на интервале $(0; 2)$: $f'(x) < 0$; * на интервале $(2; +\infty)$: $f'(x) > 0$. Функция возрастает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$. 4) $f(x) = x^4 + 4x - 20$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^4 + 4x - 20)' = 4x^3 + 4 $$ Приравняем производную к нулю: $$ 4x^3 + 4 = 0 $$ $$ 4(x^3 + 1) = 0 $$ $$ 4(x + 1)(x^2 - x + 1) = 0 $$ Квадратный трехчлен $x^2 - x + 1$ имеет отрицательный дискриминант ($D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$) и положительный старший коэффициент, следовательно, $x^2 - x + 1 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Единственная критическая точка: $$ x + 1 = 0 \implies x = -1 $$ Определим знаки производной: * при $x \in (-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(-2) = 4(-8) + 4 = -28 < 0$); * при $x \in (-1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(0) = 4 > 0$). Функция возрастает на промежутке $[-1; +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty; -1]$.