ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 27 - 27.5

Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда геометрически модуль $|z - z_0|$ означает расстояние между точками $z$ и $z_0$ на комплексной плоскости. 1) $|z| = 1$ Так как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, условие принимает вид: $$ x^2 + y^2 = 1^2 $$ Геометрически модуль $|z|$ — это расстояние от точки $z$ до начала координат $O(0; 0)$. **Изображение:** окружность с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 1$. --- 2) $|z| \leq 1$ Используя формулу модуля, запишем неравенство: $$ x^2 + y^2 \leq 1 $$ Геометрически условию удовлетворяют все точки, расстояние от которых до начала координат не превосходит $1$. **Изображение:** замкнутый круг с центром в точке $O(0; 0)$ и радиусом $R = 1$ (внутренняя область окружности вместе с её границей). --- 3) $|z + i| = 2$ Представим выражение под знаком модуля в виде разности: $$ |z - (-i)| = 2 $$ Пусть $z = x + iy$, тогда $z + i = x + i(y + 1)$, и уравнение принимает вид: $$ x^2 + (y + 1)^2 = 2^2 $$ Геометрически это множество точек $z$, удалённых от точки $z_0 = -i$ с координатами $(0; -1)$ на постоянное расстояние, равное $2$. **Изображение:** окружность с центром в точке $(0; -1)$ и радиусом $R = 2$. --- 4) $|z + i| \geq 2$ Перепишем неравенство в виде: $$ |z - (-i)| \geq 2 $$ В координатной форме: $$ x^2 + (y + 1)^2 \geq 4 $$ Геометрически это множество всех точек комплексной плоскости, расстояние от которых до точки $z_0 = -i$ с координатами $(0; -1)$ не меньше $2$. **Изображение:** область плоскости, лежащая вне круга с центром в точке $(0; -1)$ и радиусом $R = 2$, включая саму граничную окружность.