ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 20 - 20.3

Для вычисления определённых интегралов применим формулу Ньютона — Лейбница: $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_{a}^{b} $$ где $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$. **1)** $$ \int_{5}^{7} x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{5}^{7} = \frac{7^2}{2} - \frac{5^2}{2} = \frac{49}{2} - \frac{25}{2} = \frac{24}{2} = 12 $$ Ответ: $12$. --- **2)** $$ \int_{3}^{8} 2 \, dx = \left. 2x \right|_{3}^{8} = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 3 = 16 - 6 = 10 $$ Ответ: $10$. --- **3)** $$ \int_{-3}^{0} x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-3}^{0} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = 0 - \left(-\frac{27}{3}\right) = 9 $$ Ответ: $9$. --- **4)** $$ \int_{-1}^{2} x^4 \, dx = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{32}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{33}{5} = 6{,}6 $$ Ответ: $6{,}6$. --- **5)** $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \, dx = \left. (-\cos x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos\frac{\pi}{3} - (-\cos 0) = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$. --- **6)** $$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left. \operatorname{tg} x \right|_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = 0 $$ *(Примечание: если в условии содержится опечатка и нижний предел равен $\frac{\pi}{4}$, то:* $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left. \operatorname{tg} x \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} - \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = \sqrt{3} - 1\text{)} $$ Ответ: $0$ (при пределах от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{3}$ ответ: $\sqrt{3} - 1$). --- **7)** Так как $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, первообразной для $\frac{1}{\sqrt{x}}$ является $2\sqrt{x}$: $$ \int_{16}^{100} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \left. 2\sqrt{x} \right|_{16}^{100} = 2\sqrt{100} - 2\sqrt{16} = 2 \cdot 10 - 2 \cdot 4 = 20 - 8 = 12 $$ Ответ: $12$. --- **8)** $$ \int_{e^2}^{e^3} \frac{dx}{x} = \left. \ln |x| \right|_{e^2}^{e^3} = \ln(e^3) - \ln(e^2) = 3 - 2 = 1 $$ Ответ: $1$. --- **9)** Представим подынтегральную функцию в виде степени: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$: $$ \int_{1}^{10} \frac{dx}{x^2} = \left. \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_{1}^{10} = -\frac{1}{10} - \left(-\frac{1}{1}\right) = -0{,}1 + 1 = 0{,}9 $$ Ответ: $0{,}9$. --- **10)** $$ \int_{-2}^{3} 3^x \, dx = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{-2}^{3} = \frac{3^3}{\ln 3} - \frac{3^{-2}}{\ln 3} = \frac{27 - \frac{1}{9}}{\ln 3} = \frac{\frac{243 - 1}{9}}{\ln 3} = \frac{242}{9\ln 3} $$ Ответ: $\frac{242}{9\ln 3}$. --- **11)** Запишем корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Первообразная: $\frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$: $$ \int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} \, dx = \left. \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \right|_{1}^{8} = \frac{3}{4} \left(8^{\frac{4}{3}} - 1^{\frac{4}{3}}\right) = \frac{3}{4} \left(\left(\sqrt[3]{8}\right)^4 - 1\right) = \frac{3}{4} (2^4 - 1) = \frac{3}{4} \cdot 15 = \frac{45}{4} = 11{,}25 $$ Ответ: $11{,}25$. --- **12)** $$ \int_{-4}^{-2} (2x + 4) \, dx = \left. \left(x^2 + 4x\right) \right|_{-4}^{-2} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \left((-2)^2 + 4 \cdot (-2)\right) - \left((-4)^2 + 4 \cdot (-4)\right) = (4 - 8) - (16 - 16) = -4 - 0 = -4 $$ Ответ: $-4$. --- **13)** $$ \int_{0}^{6} (3x^2 - x) \, dx = \left. \left(x^3 - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{0}^{6} = \left(6^3 - \frac{6^2}{2}\right) - \left(0^3 - \frac{0^2}{2}\right) = (216 - 18) - 0 = 198 $$ Ответ: $198$. --- **14)** $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (4 \sin x + 2 \cos x) \, dx = \left. (-4 \cos x + 2 \sin x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$ Подставим пределы интегрирования: $$ \left(-4 \cos\frac{\pi}{2} + 2 \sin\frac{\pi}{2}\right) - (-4 \cos 0 + 2 \sin 0) = (-4 \cdot 0 + 2 \cdot 1) - (-4 \cdot 1 + 2 \cdot 0) = 2 - (-4) = 6 $$ Ответ: $6$.