ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 2 - 2.5

По определению приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ равно: $$ \Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) $$ 1. Найдём значения функции $f(x_0)$ и $f(x_0 + \Delta x)$ для функции $f(x) = x^2 - x$: $$ f(x_0) = x_0^2 - x_0 $$ $$ f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 - (x_0 + \Delta x) = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x $$ 2. Найдём приращение функции $\Delta f$: $$ \Delta f = \left(x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x\right) - (x_0^2 - x_0) $$ $$ \Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x - x_0^2 + x_0 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x $$ 3. Составим отношение $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ при $\Delta x \neq 0$: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x_0 + \Delta x - 1)}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1 $$ 4. Вычислим предел отношения при $\Delta x \to 0$: $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1) = 2x_0 + 0 - 1 = 2x_0 - 1 $$ Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$; $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = 2x_0 - 1$.