ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 17 - 17.6

**1)** $f(x) = e^{5x} + e^{-4x}$, $x_0 = 0$ Найдем производную функции по правилу дифференцирования суммы и сложной показательной функции: $$ f'(x) = (e^{5x})' + (e^{-4x})' = e^{5x} \cdot (5x)' + e^{-4x} \cdot (-4x)' = 5e^{5x} - 4e^{-4x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = 5e^{5 \cdot 0} - 4e^{-4 \cdot 0} = 5e^0 - 4e^0 = 5 \cdot 1 - 4 \cdot 1 = 1 $$ **Ответ:** $1$. --- **2)** $f(x) = e^{-x} \operatorname{tg} x$, $x_0 = 0$ Применим правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ f'(x) = (e^{-x})' \cdot \operatorname{tg} x + e^{-x} \cdot (\operatorname{tg} x)' = -e^{-x} \operatorname{tg} x + \frac{e^{-x}}{\cos^2 x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = -e^{-0} \operatorname{tg} 0 + \frac{e^{-0}}{\cos^2 0} = -1 \cdot 0 + \frac{1}{1^2} = 0 + 1 = 1 $$ **Ответ:** $1$. --- **3)** $f(x) = 4^{x^2 - 3x - 4}$, $x_0 = -1$ Используем формулу производной показательной функции с основанием $a$: $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$: $$ f'(x) = 4^{x^2 - 3x - 4} \cdot \ln 4 \cdot (x^2 - 3x - 4)' = (2x - 3) \cdot 4^{x^2 - 3x - 4} \ln 4 $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$: $$ f'(-1) = (2 \cdot (-1) - 3) \cdot 4^{(-1)^2 - 3 \cdot (-1) - 4} \ln 4 = (-2 - 3) \cdot 4^{1 + 3 - 4} \ln 4 = -5 \cdot 4^0 \ln 4 = -5 \ln 4 $$ Преобразуем логарифм: $\ln 4 = \ln(2^2) = 2 \ln 2$, тогда: $$ -5 \ln 4 = -5 \cdot 2 \ln 2 = -10 \ln 2 $$ **Ответ:** $-5 \ln 4$ (или $-10 \ln 2$).