ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.2

1) $\left(\frac{1}{2}\right)^x > \frac{1}{4}$ Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x > \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$ Так как основание степени удовлетворяет условию $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Меняем знак неравенства на противоположный: $$ x < 2 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 2)$. 2) $5^x < \frac{1}{5}$ Запишем правую часть в виде степени с основанием $5$: $$ 5^x < 5^{-1} $$ Так как основание $5 > 1$, показательная функция возрастает, знак неравенства сохраняется: $$ x < -1 $$ Ответ: $x \in (-\infty; -1)$. 3) $11^{x-5} < 11^{3x+1}$ Основание степени $11 > 1$, следовательно, функция возрастает и знак неравенства не меняется: $$ x - 5 < 3x + 1 $$ $$ x - 3x < 1 + 5 $$ $$ -2x < 6 $$ Разделим обе части на $-2$, изменив знак неравенства: $$ x > -3 $$ Ответ: $x \in (-3; +\infty)$. 4) $0,4^{6x+1} \geq 0,4^{2x+5}$ Так как основание степени $0 < 0,4 < 1$, показательная функция убывает. Меняем знак неравенства на противоположный: $$ 6x + 1 \leq 2x + 5 $$ $$ 6x - 2x \leq 5 - 1 $$ $$ 4x \leq 4 $$ $$ x \leq 1 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 1]$. 5) $2^{x^2-1} < 8$ Приведём обе части неравенства к основанию $2$: $$ 2^{x^2-1} < 2^3 $$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x^2 - 1 < 3 $$ $$ x^2 - 4 < 0 $$ $$ (x - 2)(x + 2) < 0 $$ Решая методом интервалов, получаем: $$ -2 < x < 2 $$ Ответ: $x \in (-2; 2)$. 6) $27^{2x+1} > \left(\frac{1}{9}\right)^{x+2}$ Приведём степени к основанию $3$, зная, что $27 = 3^3$ и $\frac{1}{9} = 3^{-2}$: $$ (3^3)^{2x+1} > (3^{-2})^{x+2} $$ $$ 3^{3(2x+1)} > 3^{-2(x+2)} $$ $$ 3^{6x+3} > 3^{-2x-4} $$ Поскольку основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 6x + 3 > -2x - 4 $$ $$ 6x + 2x > -4 - 3 $$ $$ 8x > -7 $$ $$ x > -\frac{7}{8} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{7}{8}; +\infty\right)$. 7) $0,3^{4x-8} > 1$ Представим единицу как $0,3^0$: $$ 0,3^{4x-8} > 0,3^0 $$ Так как основание степени $0 < 0,3 < 1$, функция убывает, знак неравенства меняется: $$ 4x - 8 < 0 $$ $$ 4x < 8 $$ $$ x < 2 $$ Ответ: $x \in (-\infty; 2)$. 8) $0,1^{3x-1} < 1000$ Приведём обе части к основанию $10$, учитывая, что $0,1 = 10^{-1}$ и $1000 = 10^3$: $$ (10^{-1})^{3x-1} < 10^3 $$ $$ 10^{-(3x-1)} < 10^3 $$ $$ 10^{-3x+1} < 10^3 $$ Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ -3x + 1 < 3 $$ $$ -3x < 2 $$ Делим на $-3$, меняя знак неравенства: $$ x > -\frac{2}{3} $$ Ответ: $x \in \left(-\frac{2}{3}; +\infty\right)$. 9) $\left(\frac{1}{36}\right)^{2-x} < 216^{x+1}$ Приведём степени к основанию $6$, так как $\frac{1}{36} = 6^{-2}$ и $216 = 6^3$: $$ (6^{-2})^{2-x} < (6^3)^{x+1} $$ $$ 6^{-2(2-x)} < 6^{3(x+1)} $$ $$ 6^{2x-4} < 6^{3x+3} $$ Так как основание $6 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ 2x - 4 < 3x + 3 $$ $$ 2x - 3x < 3 + 4 $$ $$ -x < 7 $$ $$ x > -7 $$ Ответ: $x \in (-7; +\infty)$.