ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 12 - 12.1

Два неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают. 1) Рассмотрим неравенство $7^{2x+4} > 7^{x-1}$. Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция $y = 7^t$ является строго возрастающей на $\mathbb{R}$. Следовательно, большему значению функции соответствует большее значение аргумента: $$ 7^{2x+4} > 7^{x-1} \iff 2x+4 > x-1 $$ Так как переход между неравенствами равносильный, их множества решений совпадают. **Итог:** неравенства равносильны. 2) Рассмотрим неравенство $0,9^{x^2-4} < 0,9^{x+2}$. Так как основание степени $0 < 0,9 < 1$, показательная функция $y = 0,9^t$ является строго убывающей на $\mathbb{R}$. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ 0,9^{x^2-4} < 0,9^{x+2} \iff x^2 - 4 > x + 2 $$ Решим полученное неравенство: $$ x^2 - x - 6 > 0 $$ $$ (x - 3)(x + 2) > 0 \iff x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty) $$ Решим второе неравенство $x^2 - 4 < x + 2$: $$ x^2 - x - 6 < 0 $$ $$ (x - 3)(x + 2) < 0 \iff x \in (-2; 3) $$ Множества решений неравенств не совпадают. **Итог:** неравенства не равносильны. 3) Рассмотрим неравенство $a^x > a^5$ при условии $a > 1$. Поскольку основание $a > 1$, функция $y = a^t$ строго возрастает. Поэтому неравенство $a^x > a^5$ равносильно неравенству $x > 5$. Их множества решений совпадают: $x \in (5; +\infty)$. **Итог:** неравенства равносильны. 4) Рассмотрим неравенство $a^x < a^{-3}$ при условии $0 < a < 1$. Поскольку основание $0 < a < 1$, функция $y = a^t$ строго убывает. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ a^x < a^{-3} \iff x > -3 $$ Множеством решений первого неравенства является промежуток $(-3; +\infty)$, а множеством решений второго неравенства $x < -3$ — промежуток $(-\infty; -3)$. Множества решений не совпадают. **Итог:** неравенства не равносильны. **Ответ:** 1) да (равносильны); 2) нет (не равносильны); 3) да (равносильны); 4) нет (не равносильны).