ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 1 - 1.7

Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если: 1) функция определена в точке $x_0$; 2) существует предел $\lim_{x \to x_0} f(x)$ (то есть левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$); 3) этот предел равен значению функции в точке $x_0$: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. --- **1)** $$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 2, \\ x + 2, & \text{если } x \geq 2, \end{cases} \quad x_0 = 2 $$ 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 2$: $$ f(2) = 2 + 2 = 4 $$ 2. Найдём односторонние пределы при стремлении $x$ к $2$: — левосторонний предел (при $x < 2$): $$ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4 $$ — правосторонний предел (при $x > 2$): $$ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x + 2) = 2 + 2 = 4 $$ 3. Так как $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 4$, то предел $\lim_{x \to 2} f(x)$ существует и равен $f(2)$. Следовательно, функция $f$ является непрерывной в точке $x_0 = 2$. --- **2)** $$ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x}, & \text{если } x \neq 0, \\ 1, & \text{если } x = 0, \end{cases} \quad x_0 = 0 $$ При $x \neq 0$ выражение $\frac{x}{x} = 1$. Таким образом, при всех $x \in \mathbb{R}$ функция принимает постоянное значение $f(x) = 1$. 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 0$: $$ f(0) = 1 $$ 2. Найдём предел функции при $x \to 0$: $$ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1 $$ 3. Так как $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$, все условия непрерывности выполняются. Следовательно, функция $f$ является непрерывной в точке $x_0 = 0$. --- **3)** $$ f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x > 1, \\ x - 2, & \text{если } x \leq 1, \end{cases} \quad x_0 = 1 $$ 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $$ f(1) = 1 - 2 = -1 $$ 2. Найдём односторонние пределы при стремлении $x$ к $1$: — левосторонний предел (при $x < 1$): $$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x - 2) = 1 - 2 = -1 $$ — правосторонний предел (при $x > 1$): $$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 = 1^2 = 1 $$ 3. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы не совпадают ($\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$, так как $-1 \neq 1$), предел функции в точке $x_0 = 1$ не существует. Следовательно, функция $f$ не является непрерывной в точке $x_0 = 1$. --- **Ответ:** 1) является непрерывной; 2) является непрерывной; 3) не является непрерывной.