ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-9. вариант - Б1

### 1 **а)** Расположим в порядке возрастания числа: $\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3}$; $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$; $\operatorname{tg} \frac{6\pi}{7}$. 1. Определим четверти, в которых лежат углы: - Угол $\frac{\pi}{5} \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ (I четверть), следовательно, $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5} > 0$. - Углы $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{6\pi}{7}$ лежат во II четверти, так как $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \frac{6\pi}{7} < \pi$, поэтому значения тангенсов этих углов отрицательны. 2. Сравним отрицательные значения: Функция $y = \operatorname{tg} x$ строго возрастает на интервале $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$. Поскольку $\frac{2\pi}{3} < \frac{6\pi}{7}$, то: $$\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} < \operatorname{tg} \frac{6\pi}{7} < 0$$ 3. Объединяя результаты, получаем: $$\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3} < \operatorname{tg} \frac{6\pi}{7} < \operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$$ **Ответ:** $\operatorname{tg} \frac{2\pi}{3}$; $\operatorname{tg} \frac{6\pi}{7}$; $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$. --- **б)** Расположим в порядке возрастания числа: $\cos(-1,8)$; $\cos 2,3$; $\cos 2$. 1. Используем четность функции косинуса: $$\cos(-1,8) = \cos 1,8$$ 2. Оценим положение аргументов $1,8$, $2$ и $2,3$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$, а $\pi \approx 3,14$, все три числа принадлежат отрезку $[0; \pi]$: $$0 < 1,8 < 2 < 2,3 < \pi$$ 3. Функция $y = \cos x$ монотонно убывает на отрезке $[0; \pi]$. Следовательно, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: $$\cos 2,3 < \cos 2 < \cos 1,8$$ $$\cos 2,3 < \cos 2 < \cos(-1,8)$$ **Ответ:** $\cos 2,3$; $\cos 2$; $\cos(-1,8)$. --- ### 2 Исследуем функцию $y = 0,5 \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$. 1. **Промежутки монотонности:** - Функция $y = \sin t$ возрастает при $t \in \left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$. Так как коэффициент $0,5 > 0$, исследуемая функция возрастает при: $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$ $$-\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ - Функция $y = \sin t$ убывает при $t \in \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$. Исследуемая функция убывает при: $$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$$ $$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2. **Точки экстремума:** - Точки максимума достигаются, когда $\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 1$: $$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x_{\max} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ - Точки минимума достигаются, когда $\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = -1$: $$x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x_{\min} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 3. **Экстремумы функции:** - Максимум функции: $$y_{\max} = 0,5 \cdot 1 = 0,5$$ - Минимум функции: $$y_{\min} = 0,5 \cdot (-1) = -0,5$$ **Ответ:** - функция возрастает на промежутках $\left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$; - функция убывает на промежутках $\left[\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k\right], k \in \mathbb{Z}$; - $x_{\max} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad y_{\max} = 0,5$; - $x_{\min} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad y_{\min} = -0,5, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- ### 3 Дана функция $y = f(x)$, для которой: $$x_{\min} = -1, \quad y_{\min} = 1$$ $$x_{\max} = 2, \quad y_{\max} = 4$$ Рассмотрим функцию $g(x) = -2f(x + 1)$. График функции $y = -2f(x + 1)$ получается из графика $y = f(x)$ с помощью следующих преобразований: 1. Сдвиг вдоль оси $Ox$ на $1$ единицу влево (замена $x$ на $x + 1$). 2. Растяжение вдоль оси $Oy$ в $2$ раза и симметричное отражение относительно оси $Ox$ (умножение значений функции на $-2$). Так как коэффициент перед функцией отрицательный ($-2 < 0$), характер экстремумов меняется на противоположный: точка минимума исходной функции становится точкой максимума новой функции, а точка максимума — точкой минимума. 1. **Точка максимума и максимум функции $g(x)$:** $$x + 1 = x_{\min}(f) \implies x + 1 = -1 \implies x_{\max} = -2$$ $$y_{\max} = -2 \cdot y_{\min}(f) = -2 \cdot 1 = -2$$ 2. **Точка минимума и минимум функции $g(x)$:** $$x + 1 = x_{\max}(f) \implies x + 1 = 2 \implies x_{\min} = 1$$ $$y_{\min} = -2 \cdot y_{\max}(f) = -2 \cdot 4 = -8$$ **Ответ:** $x_{\max} = -2, \quad y_{\max} = -2$; $x_{\min} = 1, \quad y_{\min} = -8$.