ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-7. вариант - А1

### 1 Найдите производную функции: **Вариант А1** а) $y = 2x^3 - \frac{x^2}{2} + 4$ Используем правила дифференцирования суммы и формулу $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ y' = \left(2x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4\right)' = 2 \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = 6x^2 - x $$ Ответ: $y' = 6x^2 - x$. б) $y = 2\cos x - 3\operatorname{tg} x$ Используем табличные производные $(\cos x)' = -\sin x$ и $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$: $$ y' = 2(-\sin x) - 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -2\sin x - \frac{3}{\cos^2 x} $$ Ответ: $y' = -2\sin x - \frac{3}{\cos^2 x}$. в) $y = \frac{x - 3}{x + 2}$ Применяем правило дифференцирования дроби $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(x - 3)'(x + 2) - (x - 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{1 \cdot (x + 2) - (x - 3) \cdot 1}{(x + 2)^2} = \frac{x + 2 - x + 3}{(x + 2)^2} = \frac{5}{(x + 2)^2} $$ Ответ: $y' = \frac{5}{(x + 2)^2}$. **Вариант А2** а) $y = 4x^5 + \frac{x^3}{3} - 2$ $$ y' = \left(4x^5 + \frac{1}{3}x^3 - 2\right)' = 4 \cdot 5x^4 + \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 0 = 20x^4 + x^2 $$ Ответ: $y' = 20x^4 + x^2$. б) $y = 4\sin x - 5\operatorname{ctg} x$ Используем табличные производные $(\sin x)' = \cos x$ и $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$: $$ y' = 4\cos x - 5 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 4\cos x + \frac{5}{\sin^2 x} $$ Ответ: $y' = 4\cos x + \frac{5}{\sin^2 x}$. в) $y = \frac{x - 2}{x + 3}$ $$ y' = \frac{(x - 2)'(x + 3) - (x - 2)(x + 3)'}{(x + 3)^2} = \frac{1 \cdot (x + 3) - (x - 2) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{x + 3 - x + 2}{(x + 3)^2} = \frac{5}{(x + 3)^2} $$ Ответ: $y' = \frac{5}{(x + 3)^2}$. --- ### 2 Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ **Вариант А1:** $f(x) = \frac{2}{x^2} - x$, $x_0 = -1$. 1) Вычислим значение функции в точке $x_0$: $$ f(-1) = \frac{2}{(-1)^2} - (-1) = 2 + 1 = 3 $$ 2) Запишем функцию в виде $f(x) = 2x^{-2} - x$ и найдём производную: $$ f'(x) = 2 \cdot (-2)x^{-3} - 1 = -\frac{4}{x^3} - 1 $$ 3) Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(-1) = -\frac{4}{(-1)^3} - 1 = -\frac{4}{-1} - 1 = 4 - 1 = 3 $$ 4) Составим уравнение касательной: $$ y = 3 + 3(x - (-1)) = 3 + 3(x + 1) = 3 + 3x + 3 = 3x + 6 $$ Ответ: $y = 3x + 6$. **Вариант А2:** $f(x) = \frac{3}{x^3} + 2x$, $x_0 = 1$. 1) Значение функции в точке $x_0$: $$ f(1) = \frac{3}{1^3} + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5 $$ 2) Производная функции ($f(x) = 3x^{-3} + 2x$): $$ f'(x) = 3 \cdot (-3)x^{-4} + 2 = -\frac{9}{x^4} + 2 $$ 3) Значение производной в точке $x_0$: $$ f'(1) = -\frac{9}{1^4} + 2 = -9 + 2 = -7 $$ 4) Уравнение касательной: $$ y = 5 - 7(x - 1) = 5 - 7x + 7 = -7x + 12 $$ Ответ: $y = -7x + 12$. --- ### 3 Составьте и решите уравнение: **Вариант А1:** $f'(x) = g'(x)$, если $f(x) = (2x - 1)^5$, $g(x) = 10x + 7$. 1) Найдём производную сложной функции $f(x)$: $$ f'(x) = 5(2x - 1)^4 \cdot (2x - 1)' = 5(2x - 1)^4 \cdot 2 = 10(2x - 1)^4 $$ 2) Найдём производную функции $g(x)$: $$ g'(x) = (10x + 7)' = 10 $$ 3) Составим уравнение $f'(x) = g'(x)$ и решим его: $$ 10(2x - 1)^4 = 10 $$ $$ (2x - 1)^4 = 1 $$ Отсюда получаем два случая: $2x - 1 = 1$ или $2x - 1 = -1$. $2x = 2 \Rightarrow x = 1$; $2x = 0 \Rightarrow x = 0$. Ответ: $0$; $1$. **Вариант А2:** $f'(x) = -g'(x)$, если $f(x) = (3x - 5)^4$, $g(x) = 96x - 17$. 1) Найдём производную функции $f(x)$: $$ f'(x) = 4(3x - 5)^3 \cdot (3x - 5)' = 4(3x - 5)^3 \cdot 3 = 12(3x - 5)^3 $$ 2) Найдём производную $g'(x)$ и выражение $-g'(x)$: $$ g'(x) = (96x - 17)' = 96 \implies -g'(x) = -96 $$ 3) Составим уравнение $f'(x) = -g'(x)$ и решим его: $$ 12(3x - 5)^3 = -96 $$ $$ (3x - 5)^3 = -8 $$ Извлекаем корень нечётной степени: $$ 3x - 5 = -2 $$ $$ 3x = 3 \implies x = 1 $$ Ответ: $1$. --- ### 4 Материальная точка движется прямолинейно по закону $x(t)$. Мгновенная скорость точки равна производной координаты по времени: $v(t) = x'(t)$. **Вариант А1:** $x(t) = t^3 + 1$. Определите скорость точки в момент, когда её координата равна $9\text{ м}$. 1) Найдём момент времени $t$, в который $x(t) = 9\text{ м}$: $$ t^3 + 1 = 9 $$ $$ t^3 = 8 \implies t = 2\text{ с} $$ 2) Найдём закон изменения скорости: $$ v(t) = x'(t) = (t^3 + 1)' = 3t^2 $$ 3) Вычислим скорость в момент $t = 2\text{ с}$: $$ v(2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12\text{ м/с} $$ Ответ: $12\text{ м/с}$. **Вариант А2:** $x(t) = t^4 + 3t$. Определите координату точки в момент, когда её скорость равна $7\text{ м/с}$. 1) Найдём закон изменения скорости: $$ v(t) = x'(t) = (t^4 + 3t)' = 4t^3 + 3 $$ 2) Найдём момент времени $t$, когда скорость равна $7\text{ м/с}$: $$ 4t^3 + 3 = 7 $$ $$ 4t^3 = 4 \implies t^3 = 1 \implies t = 1\text{ с} $$ 3) Найдём координату точки при $t = 1\text{ с}$: $$ x(1) = 1^4 + 3 \cdot 1 = 1 + 3 = 4\text{ м} $$ Ответ: $4\text{ м}$. --- ### 5 Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной в точке касания: $k = g'(x_0)$. **Вариант А1:** $g(x) = \frac{1}{2 - 3x}$ в точке с ординатой $y_0 = -1$. 1) Найдём абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $g(x_0) = -1$: $$ \frac{1}{2 - 3x_0} = -1 $$ $$ 2 - 3x_0 = -1 $$ $$ -3x_0 = -3 \implies x_0 = 1 $$ 2) Найдём производную функции $g(x) = (2 - 3x)^{-1}$: $$ g'(x) = -1 \cdot (2 - 3x)^{-2} \cdot (2 - 3x)' = -(2 - 3x)^{-2} \cdot (-3) = \frac{3}{(2 - 3x)^2} $$ 3) Вычислим угловой коэффициент при $x_0 = 1$: $$ k = g'(1) = \frac{3}{(2 - 3 \cdot 1)^2} = \frac{3}{(-1)^2} = 3 $$ Ответ: $3$. **Вариант А2:** $g(x) = \frac{2}{1 - x}$ в точке с ординатой $y_0 = 1$. 1) Найдём абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $g(x_0) = 1$: $$ \frac{2}{1 - x_0} = 1 $$ $$ 1 - x_0 = 2 \implies x_0 = -1 $$ 2) Найдём производную функции $g(x) = 2(1 - x)^{-1}$: $$ g'(x) = 2 \cdot (-1)(1 - x)^{-2} \cdot (1 - x)' = -2(1 - x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{2}{(1 - x)^2} $$ 3) Вычислим угловой коэффициент при $x_0 = -1$: $$ k = g'(-1) = \frac{2}{(1 - (-1))^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 $$ Ответ: $0{,}5$.