ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-6. вариант - В1

## ① Вычислите: **а)** $3^{\frac{2}{\log_5 3}} + \frac{\log_2 \frac{1}{3}}{\log_4 81}$ 1. Преобразуем первое слагаемое, используя формулу перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ и основное логарифмическое тождество: $$ 3^{\frac{2}{\log_5 3}} = 3^{2 \log_3 5} = 3^{\log_3 (5^2)} = 5^2 = 25 $$ 2. Преобразуем второе слагаемое, используя свойства логарифма степени: $$ \log_2 \frac{1}{3} = \log_2 (3^{-1}) = -\log_2 3 $$ $$ \log_4 81 = \log_{2^2} (3^4) = \frac{4}{2} \log_2 3 = 2 \log_2 3 $$ $$ \frac{\log_2 \frac{1}{3}}{\log_4 81} = \frac{-\log_2 3}{2 \log_2 3} = -\frac{1}{2} = -0{,}5 $$ 3. Сложим полученные результаты: $$ 25 + (-0{,}5) = 24{,}5 $$ Ответ: $24{,}5$. --- **б)** $\log_{\sqrt{2}}(\log_2 3 \cdot \log_3 4)$ 1. Применим формулу перехода к новому основанию $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ к выражению под знаком внешнего логарифма: $$ \log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 $$ 2. Вычислим значение внешнего логарифма: $$ \log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{1/2}} (2^1) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_2 2 = 2 $$ Ответ: $2$. --- ## ② Решите уравнение: **а)** $\log_2(x - 2) \cdot \log_3 2 + \log_3(x + 3) = 1 + \lg(x - 1) \log_3 10$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x + 3 > 0, \\ x - 1 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > -3, \\ x > 1 \end{cases} \iff x > 2 $$ 2. Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_2(x - 2) \cdot \log_3 2 = \log_3(x - 2)$ и $\lg(x - 1) \cdot \log_3 10 = \log_3(x - 1)$. Перепишем уравнение: $$ \log_3(x - 2) + \log_3(x + 3) = 1 + \log_3(x - 1) $$ 3. Заменим $1 = \log_3 3$ и применим свойство суммы логарифмов: $$ \log_3((x - 2)(x + 3)) = \log_3(3(x - 1)) $$ Потенцируем: $$ (x - 2)(x + 3) = 3(x - 1) $$ $$ x^2 + x - 6 = 3x - 3 $$ $$ x^2 - 2x - 3 = 0 $$ По теореме Виета корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$. 4. Проверим корни по ОДЗ: $x = 3 > 2$ — корень уравнения; $x = -1 < 2$ — посторонний корень. Ответ: $3$. --- **б)** $\log_x (9x^2) \log_3^2 x = 4$ 1. ОДЗ: $x > 0$, $x \neq 1$. 2. Преобразуем множитель $\log_x (9x^2)$, перейдя к основанию 3: $$ \log_x (9x^2) = \frac{\log_3 (9x^2)}{\log_3 x} = \frac{\log_3 9 + \log_3 (x^2)}{\log_3 x} $$ Так как $x > 0$, то $\log_3 (x^2) = 2\log_3 x$: $$ \log_x (9x^2) = \frac{2 + 2\log_3 x}{\log_3 x} $$ 3. Подставим в исходное уравнение: $$ \frac{2 + 2\log_3 x}{\log_3 x} \cdot \log_3^2 x = 4 $$ Так как $x \neq 1$, то $\log_3 x \neq 0$. Сократим на $\log_3 x$: $$ (2 + 2\log_3 x)\log_3 x = 4 $$ $$ 2\log_3^2 x + 2\log_3 x - 4 = 0 $$ Разделим обе части на 2: $$ \log_3^2 x + \log_3 x - 2 = 0 $$ 4. Пусть $t = \log_3 x$, тогда: $$ t^2 + t - 2 = 0 \iff (t + 2)(t - 1) = 0 \iff t_1 = 1, \quad t_2 = -2 $$ 5. Вернемся к переменной $x$: - $\log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$; - $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $\frac{1}{9}; 3$. --- ## ③ Решите неравенство: **а)** $\log_x (x + 2) > 2$ 1. ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 2 > 0, \\ x > 0, \\ x \neq 1 \end{cases} \iff x \in (0; 1) \cup (1; +\infty) $$ 2. Представим правую часть в виде логарифма: $2 = \log_x (x^2)$. Неравенство принимает вид: $$ \log_x (x + 2) > \log_x (x^2) $$ Рассмотрим два случая в зависимости от основания $x$: - Случай 1: $x > 1$. Знак неравенства сохраняется: $$ x + 2 > x^2 \iff x^2 - x - 2 < 0 \iff (x - 2)(x + 1) < 0 \iff -1 < x < 2 $$ С учетом условия $x > 1$ получаем: $x \in (1; 2)$. - Случай 2: $0 < x < 1$. Знак неравенства меняется: $$ x + 2 < x^2 \iff x^2 - x - 2 > 0 \iff (x - 2)(x + 1) > 0 \iff x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) $$ Пересечение с интервалом $0 < x < 1$ пусто: решений нет. Ответ: $(1; 2)$. --- **б)** $\log_5 (\log_{0,5}^2 x + \log_{0,5} x^2 - 3) \geq 1$ 1. ОДЗ: $x > 0$. 2. Так как основание внешнего логарифма $5 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ \log_{0,5}^2 x + \log_{0,5} x^2 - 3 \geq 5^1 $$ При $x > 0$ справедливо равенство $\log_{0,5} x^2 = 2\log_{0,5} x$. Перенесем 5 в левую часть: $$ \log_{0,5}^2 x + 2\log_{0,5} x - 8 \geq 0 $$ 3. Введем замену $t = \log_{0,5} x$: $$ t^2 + 2t - 8 \geq 0 $$ Корни уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$ равны $t = -4$ и $t = 2$. Решением квадратного неравенства является совокупность: $$ \left[ \begin{gathered} t \leq -4, \\ t \geq 2 \end{gathered} \right. $$ 4. Возвращаемся к переменной $x$: - $\log_{0,5} x \leq -4$ Так как основание $0 < 0,5 < 1$, знак меняется: $$ x \geq (0,5)^{-4} \iff x \geq \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} \iff x \geq 16 $$ - $\log_{0,5} x \geq 2$ $$ 0 < x \leq (0,5)^2 \iff 0 < x \leq 0{,}25 $$ С учетом ОДЗ получаем объединение интервалов. Ответ: $(0; 0{,}25] \cup [16; +\infty)$. --- ## ④ Решите систему уравнений: **Первая система:** $$ \begin{cases} 3^{\log_3 y} - \log_3 x = 1, \\ x^y = 3^{12} \end{cases} $$ 1. ОДЗ: $x > 0, y > 0$. 2. По основному логарифмическому тождеству $3^{\log_3 y} = y$. Тогда первое уравнение системы: $$ y - \log_3 x = 1 \implies \log_3 x = y - 1 \implies x = 3^{y - 1} $$ 3. Подставим выражение для $x$ во второе уравнение: $$ (3^{y - 1})^y = 3^{12} $$ $$ 3^{y(y - 1)} = 3^{12} $$ $$ y^2 - y - 12 = 0 $$ Корни по теореме Виета: $y_1 = 4$, $y_2 = -3$. Так как по ОДЗ $y > 0$, подходит только $y = 4$. 4. Найдем $x$: $$ x = 3^{4 - 1} = 3^3 = 27 $$ Ответ: $(27; 4)$. --- **Вторая система:** $$ \begin{cases} \log_5 x + 5^{\log_5 y} = 7, \\ x^y = 5^{12} \end{cases} $$ 1. ОДЗ: $x > 0, y > 0$. 2. По основному логарифмическому тождеству $5^{\log_5 y} = y$. Тогда первое уравнение системы: $$ \log_5 x + y = 7 \implies \log_5 x = 7 - y \implies x = 5^{7 - y} $$ 3. Подставим во второе уравнение: $$ (5^{7 - y})^y = 5^{12} $$ $$ 5^{y(7 - y)} = 5^{12} $$ $$ 7y - y^2 = 12 \iff y^2 - 7y + 12 = 0 $$ Корни уравнения: $y_1 = 3$, $y_2 = 4$. Оба удовлетворяют условию $y > 0$. 4. Найдем соответствующие значения $x$: - если $y = 3$, то $x = 5^{7 - 3} = 5^4 = 625$; - если $y = 4$, то $x = 5^{7 - 4} = 5^3 = 125$. Ответ: $(625; 3), (125; 4)$. --- ## ⑤ Решите уравнение: $$ \log_2(x^2 - x - 2) = 1 + \log_2(x - 2) \log_2(x + 1) $$ 1. ОДЗ: $$ \begin{cases} x - 2 > 0, \\ x + 1 > 0, \\ x^2 - x - 2 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > -1, \\ (x - 2)(x + 1) > 0 \end{cases} \iff x > 2 $$ 2. Разложим аргумент левой части на множители: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$. При $x > 2$ оба множителя положительны, поэтому: $$ \log_2(x^2 - x - 2) = \log_2((x - 2)(x + 1)) = \log_2(x - 2) + \log_2(x + 1) $$ 3. Подставим данное равенство в уравнение: $$ \log_2(x - 2) + \log_2(x + 1) = 1 + \log_2(x - 2) \log_2(x + 1) $$ Перенесем все слагаемые в правую часть: $$ \log_2(x - 2) \log_2(x + 1) - \log_2(x - 2) - \log_2(x + 1) + 1 = 0 $$ 4. Сгруппируем слагаемые: $$ \log_2(x - 2)(\log_2(x + 1) - 1) - (\log_2(x + 1) - 1) = 0 $$ $$ (\log_2(x - 2) - 1)(\log_2(x + 1) - 1) = 0 $$ 5. Приравняем каждый множитель к нулю: - $\log_2(x - 2) - 1 = 0 \implies \log_2(x - 2) = 1 \implies x - 2 = 2 \implies x = 4$; - $\log_2(x + 1) - 1 = 0 \implies \log_2(x + 1) = 1 \implies x + 1 = 2 \implies x = 1$. 6. Проверим корни по ОДЗ ($x > 2$): - $x = 4 > 2$ — является корнем; - $x = 1 < 2$ — посторонний корень. Ответ: $4$.