ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-7. вариант - Б2

### 1. Нахождение производных функций **а)** Функция: $y = \frac{x^4}{4} - \frac{4}{x^4} + 8\sqrt{x}$. Запишем функцию в виде степеней: $$ y = \frac{1}{4}x^4 - 4x^{-4} + 8x^{\frac{1}{2}} $$ Применим правила дифференцирования $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ y' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 4 \cdot (-4)x^{-5} + 8 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = x^3 + 16x^{-5} + 4x^{-\frac{1}{2}} = x^3 + \frac{16}{x^5} + \frac{4}{\sqrt{x}} $$ Ответ: $y' = x^3 + \frac{16}{x^5} + \frac{4}{\sqrt{x}}$. --- **б)** Функция: $y = (x^2 + 1)\cos x$. Используем формулу производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $$ y' = (x^2 + 1)' \cdot \cos x + (x^2 + 1) \cdot (\cos x)' = 2x\cos x + (x^2 + 1)(-\sin x) = 2x\cos x - (x^2 + 1)\sin x $$ Ответ: $y' = 2x\cos x - (x^2 + 1)\sin x$. --- **в)** Функция: $y = \frac{x^2 + 3x}{x - 1}$. Используем формулу производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \frac{(x^2 + 3x)'(x - 1) - (x^2 + 3x)(x - 1)'}{(x - 1)^2} = \frac{(2x + 3)(x - 1) - (x^2 + 3x) \cdot 1}{(x - 1)^2} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ y' = \frac{2x^2 - 2x + 3x - 3 - x^2 - 3x}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} $$ Ответ: $y' = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$. --- ### 2. Составление уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ Уравнение касательной имеет вид: $$ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) $$ **Случай 1:** $f(x) = \frac{1}{(2x - 1)^2}, \quad x_0 = 1$. 1) Вычислим значение функции в точке $x_0$: $$ f(1) = \frac{1}{(2 \cdot 1 - 1)^2} = \frac{1}{1^2} = 1 $$ 2) Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left((2x - 1)^{-2}\right)' = -2(2x - 1)^{-3} \cdot (2x - 1)' = -\frac{4}{(2x - 1)^3} $$ 3) Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(1) = -\frac{4}{(2 \cdot 1 - 1)^3} = -4 $$ 4) Подставим полученные значения в уравнение касательной: $$ y = 1 - 4(x - 1) = 1 - 4x + 4 = -4x + 5 $$ Ответ: $y = -4x + 5$. --- **Случай 2:** $f(x) = \frac{1}{(3x - 8)^2}, \quad x_0 = 3$. 1) Вычислим значение функции в точке $x_0$: $$ f(3) = \frac{1}{(3 \cdot 3 - 8)^2} = \frac{1}{1^2} = 1 $$ 2) Найдем производную функции: $$ f'(x) = \left((3x - 8)^{-2}\right)' = -2(3x - 8)^{-3} \cdot (3x - 8)' = -\frac{6}{(3x - 8)^3} $$ 3) Вычислим значение производной в точке $x_0$: $$ f'(3) = -\frac{6}{(3 \cdot 3 - 8)^3} = -6 $$ 4) Составим уравнение касательной: $$ y = 1 - 6(x - 3) = 1 - 6x + 18 = -6x + 19 $$ Ответ: $y = -6x + 19$. --- ### 3. Составление и решение уравнений **Случай 1:** $f'(x) = -g'(x)$, если $f(x) = \sin^2 x$, $g(x) = \cos x + \cos \frac{\pi}{12}$. 1) Найдем производные: $$ f'(x) = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x = \sin 2x $$ $$ g'(x) = -\sin x + 0 = -\sin x $$ 2) Составим и решим уравнение: $$ \sin 2x = -(-\sin x) $$ $$ \sin 2x - \sin x = 0 $$ $$ 2\sin x \cos x - \sin x = 0 $$ $$ \sin x (2\cos x - 1) = 0 $$ Разбиваем на два случая: - $\sin x = 0 \implies x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; - $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \pi k, \; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- **Случай 2:** $f'(x) = g'(x)$, если $f(x) = \cos^2 x$, $g(x) = \sin x - \sin \frac{\pi}{10}$. 1) Найдем производные: $$ f'(x) = 2\cos x \cdot (\cos x)' = -2\sin x \cos x = -\sin 2x $$ $$ g'(x) = \cos x - 0 = \cos x $$ 2) Составим и решим уравнение: $$ -\sin 2x = \cos x $$ $$ \cos x + 2\sin x \cos x = 0 $$ $$ \cos x (1 + 2\sin x) = 0 $$ Разбиваем на два случая: - $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; - $1 + 2\sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2} \implies x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$. Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- ### 4. Физический смысл производной **Случай 1:** Закон движения $x(t) = 5t + 6t^2 - t^3$. Найти скорость в момент, когда ускорение равно нулю. 1) Скорость — первая производная координаты по времени: $$ v(t) = x'(t) = 5 + 12t - 3t^2 $$ 2) Ускорение — производная скорости по времени: $$ a(t) = v'(t) = 12 - 6t $$ 3) Найдем момент времени, когда $a(t) = 0$: $$ 12 - 6t = 0 \implies 6t = 12 \implies t = 2 \text{ с} $$ 4) Вычислим скорость в момент $t = 2$ с: $$ v(2) = 5 + 12 \cdot 2 - 3 \cdot 2^2 = 5 + 24 - 12 = 17 \text{ м/с} $$ Ответ: $17\text{ м/с}$. --- **Случай 2:** Закон движения $x(t) = \frac{t^3}{3} - t^2 + 2t - 4$. Найти ускорение в момент, когда скорость равна $1\text{ м/с}$. 1) Найдем скорость точки: $$ v(t) = x'(t) = t^2 - 2t + 2 $$ 2) Найдем ускорение точки: $$ a(t) = v'(t) = 2t - 2 $$ 3) Найдем момент времени, при котором $v(t) = 1\text{ м/с}$: $$ t^2 - 2t + 2 = 1 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t - 1)^2 = 0 \implies t = 1 \text{ с} $$ 4) Вычислим ускорение в момент $t = 1$ с: $$ a(1) = 2 \cdot 1 - 2 = 0 \text{ м/с}^2 $$ Ответ: $0\text{ м/с}^2$. --- ### 5. Нахождение острого угла касательной с осью ординат Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс: $k = \operatorname{tg} \alpha = f'(x_0)$. Поскольку оси координат взаимно перпендикулярны, острый угол $\beta$ между касательной и осью ординат дополняет угол $\alpha$ до $90^\circ$: $\beta = 90^\circ - \alpha$. --- **Случай 1:** $f(x) = \sqrt{x^2 + 2}, \quad x_0 = 1$. 1) Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot (x^2 + 2)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} $$ 2) Найдем тангенс угла наклона касательной к оси $Ox$: $$ \operatorname{tg} \alpha = f'(1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \alpha = 30^\circ $$ 3) Найдем острый угол с осью ординат: $$ \beta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $$ Ответ: $60^\circ$. --- **Случай 2:** $f(x) = \sqrt{x^2 - 6}, \quad x_0 = 3$. 1) Найдем производную: $$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6}} \cdot (x^2 - 6)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 6}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 6}} $$ 2) Найдем тангенс угла наклона касательной к оси $Ox$: $$ \operatorname{tg} \alpha = f'(3) = \frac{3}{\sqrt{3^2 - 6}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies \alpha = 60^\circ $$ 3) Найдем острый угол с осью ординат: $$ \beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ $$ Ответ: $30^\circ$.