ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-5. вариант - Б1

**1. Найдите значение выражения, используя представление тригонометрических выражений в виде** **a) произведения:** 1) Для суммы косинусов применим формулу $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$\frac{\cos 18^\circ + \cos 42^\circ}{\cos 12^\circ} = \frac{2\cos\frac{18^\circ + 42^\circ}{2}\cos\frac{18^\circ - 42^\circ}{2}}{\cos 12^\circ} = \frac{2\cos 30^\circ \cos(-12^\circ)}{\cos 12^\circ}$$ Так как косинус — чётная функция, $\cos(-12^\circ) = \cos 12^\circ$: $$\frac{2\cos 30^\circ \cos 12^\circ}{\cos 12^\circ} = 2\cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ 2) Для разности косинусов применим формулу $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$: $$\frac{\cos 29^\circ - \cos 91^\circ}{\sin 31^\circ} = \frac{-2\sin\frac{29^\circ + 91^\circ}{2}\sin\frac{29^\circ - 91^\circ}{2}}{\sin 31^\circ} = \frac{-2\sin 60^\circ \sin(-31^\circ)}{\sin 31^\circ}$$ Так как синус — нечётная функция, $\sin(-31^\circ) = -\sin 31^\circ$: $$\frac{2\sin 60^\circ \sin 31^\circ}{\sin 31^\circ} = 2\sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ Ответ: $\sqrt{3}$; $\sqrt{3}$. --- **b) суммы:** 1) Применим формулу произведения синусов $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))$: $$\sin 105^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2}(\cos(105^\circ - 15^\circ) - \cos(105^\circ + 15^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 90^\circ - \cos 120^\circ)$$ Так как $\cos 90^\circ = 0$, а $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2}\left(0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ 2) Применим формулу произведения косинусов $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))$: $$\cos 75^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2}(\cos(75^\circ - 15^\circ) + \cos(75^\circ + 15^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos 90^\circ)$$ Так как $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, а $\cos 90^\circ = 0$: $$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + 0\right) = \frac{1}{4}$$ Ответ: $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}$. --- **2. Упростите выражение:** **a)** Применим формулу суммы синусов $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$: $$\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right) = 2\sin\frac{\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) + \left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right)}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) - \left(\frac{2\pi}{3} - \alpha\right)}{2}$$ $$= 2\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)$$ По формуле приведения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$, а $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $$2\cos\alpha \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\cos\alpha$$ Ответ: $\sqrt{3}\cos\alpha$. **b)** Применим формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$: $$\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{3\pi}{4} + \alpha\right) = 2\sin\frac{\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \left(\frac{3\pi}{4} + \alpha\right)}{2}\cos\frac{\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \left(\frac{3\pi}{4} + \alpha\right)}{2}$$ $$= 2\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$$ Учитывая, что $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и по формуле приведения $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$: $$2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (-\sin\alpha) = \sqrt{2}\sin\alpha$$ Ответ: $\sqrt{2}\sin\alpha$. **c)** Преобразуем произведение косинусов в сумму: $2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)) + \cos((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) = \cos 2\alpha + \cos 2\beta$. Раскроем скобки во второй части выражения: $-(-1 + 2\sin^2 \beta) = 1 - 2\sin^2 \beta$. По формуле косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2 \beta = \cos 2\beta$. Подставим полученные результаты: $$2\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) - (-1 + 2\sin^2 \beta) = \cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\beta = \cos 2\alpha + 2\cos 2\beta$$ *(Примечание: если во второй скобке была опечатка и имелось в виду вычитание $\cos 2\beta$, то есть $-(1 - 2\sin^2 \beta)$, то значение равно $\cos 2\alpha$).* Ответ: $\cos 2\alpha + 2\cos 2\beta$. **d)** Преобразуем произведение синусов в разность косинусов: $2\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \cos((\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)) - \cos((\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)) = \cos 2\beta - \cos 2\alpha$. По формуле косинуса двойного угла $2\cos^2 \alpha - 1 = \cos 2\alpha$. Подставим полученные выражения: $$2\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) + 2\cos^2 \alpha - 1 = (\cos 2\beta - \cos 2\alpha) + \cos 2\alpha = \cos 2\beta$$ Ответ: $\cos 2\beta$. --- **3. Докажите тождество:** $$\frac{2\sin 3\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha} = \frac{2\cos 3\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha}{\sin 6\alpha - \sin 2\alpha} = \frac{1}{4\sin \alpha \cos \alpha}$$ Преобразуем первую дробь: 1) В числителе применим формулу произведения синуса на косинус $2\sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$: $$2\sin 3\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha = \sin(3\alpha + \alpha) + \sin(3\alpha - \alpha) - \sin 2\alpha = \sin 4\alpha + \sin 2\alpha - \sin 2\alpha = \sin 4\alpha$$ 2) В знаменателе применим формулу разности косинусов: $$\cos 2\alpha - \cos 6\alpha = -2\sin\frac{2\alpha + 6\alpha}{2}\sin\frac{2\alpha - 6\alpha}{2} = -2\sin 4\alpha \sin(-2\alpha) = 2\sin 4\alpha \sin 2\alpha$$ 3) Получаем значение первой дроби: $$\frac{\sin 4\alpha}{2\sin 4\alpha \sin 2\alpha} = \frac{1}{2\sin 2\alpha} = \frac{1}{2 \cdot (2\sin \alpha \cos \alpha)} = \frac{1}{4\sin \alpha \cos \alpha}$$ Преобразуем вторую дробь: 1) В числителе применим формулу произведения косинусов $2\cos x \cos y = \cos(x + y) + \cos(x - y)$: $$2\cos 3\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha = \cos(3\alpha + \alpha) + \cos(3\alpha - \alpha) - \cos 2\alpha = \cos 4\alpha + \cos 2\alpha - \cos 2\alpha = \cos 4\alpha$$ 2) В знаменателе применим формулу разности синусов: $$\sin 6\alpha - \sin 2\alpha = 2\sin\frac{6\alpha - 2\alpha}{2}\cos\frac{6\alpha + 2\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha \cos 4\alpha$$ 3) Получаем значение второй дроби: $$\frac{\cos 4\alpha}{2\sin 2\alpha \cos 4\alpha} = \frac{1}{2\sin 2\alpha} = \frac{1}{2 \cdot (2\sin \alpha \cos \alpha)} = \frac{1}{4\sin \alpha \cos \alpha}$$ Обе дроби равны выражению $\frac{1}{4\sin \alpha \cos \alpha}$, следовательно: $$\frac{2\sin 3\alpha \cos \alpha - \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 6\alpha} = \frac{2\cos 3\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha}{\sin 6\alpha - \sin 2\alpha} = \frac{1}{4\sin \alpha \cos \alpha}$$ Тождество доказано.