ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-5. вариант - А1

### 1 **а) Преобразование в произведение:** 1) Для выражения $\sin 6\alpha - \sin 4\alpha$ применим формулу разности синусов: $\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2}$. $$\sin 6\alpha - \sin 4\alpha = 2 \sin \frac{6\alpha - 4\alpha}{2} \cos \frac{6\alpha + 4\alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos 5\alpha$$ 2) Для выражения $\cos 7\alpha - \cos 3\alpha$ применим формулу разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}$. $$\cos 7\alpha - \cos 3\alpha = -2 \sin \frac{7\alpha + 3\alpha}{2} \sin \frac{7\alpha - 3\alpha}{2} = -2 \sin 5\alpha \sin 2\alpha$$ **Ответ:** 1) $2 \sin \alpha \cos 5\alpha$; 2) $-2 \sin 5\alpha \sin 2\alpha$. **б) Преобразование в сумму:** 1) Для выражения $\cos 3\alpha \cos 2\alpha$ применим формулу произведения косинусов: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) + \cos(x + y))$. $$\cos 3\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - 2\alpha) + \cos(3\alpha + 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 5\alpha)$$ 2) Для выражения $\sin 5\alpha \cos 2\alpha$ применим формулу произведения синуса на косинус: $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y))$. $$\sin 5\alpha \cos 2\alpha = \frac{1}{2}(\sin(5\alpha + 2\alpha) + \sin(5\alpha - 2\alpha)) = \frac{1}{2}(\sin 7\alpha + \sin 3\alpha)$$ **Ответ:** 1) $\frac{1}{2}(\cos \alpha + \cos 5\alpha)$; 2) $\frac{1}{2}(\sin 7\alpha + \sin 3\alpha)$. --- ### 2 **а)** 1) Упростим выражение $\frac{\sin 3\alpha + \sin \alpha}{\cos 3\alpha - \cos \alpha}$. Применим в числителе формулу суммы синусов, а в знаменателе — формулу разности косинусов: $$\frac{\sin 3\alpha + \sin \alpha}{\cos 3\alpha - \cos \alpha} = \frac{2 \sin \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2}}{-2 \sin \frac{3\alpha + \alpha}{2} \sin \frac{3\alpha - \alpha}{2}} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{-2 \sin 2\alpha \sin \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\operatorname{ctg} \alpha$$ 2) Упростим выражение $\frac{\cos 4\alpha + \cos 2\alpha}{\sin 4\alpha - \sin 2\alpha}$. Применим в числителе формулу суммы косинусов, а в знаменателе — формулу разности синусов: $$\frac{\cos 4\alpha + \cos 2\alpha}{\sin 4\alpha - \sin 2\alpha} = \frac{2 \cos \frac{4\alpha + 2\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha - 2\alpha}{2}}{2 \sin \frac{4\alpha - 2\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha + 2\alpha}{2}} = \frac{2 \cos 3\alpha \cos \alpha}{2 \sin \alpha \cos 3\alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$$ **Ответ:** 1) $-\operatorname{ctg} \alpha$; 2) $\operatorname{ctg} \alpha$. **б)** 1) Упростим выражение $2 \sin 35^\circ \cos 10^\circ - \sin 25^\circ$. Преобразуем произведение в сумму по формуле $2 \sin x \cos y = \sin(x + y) + \sin(x - y)$: $$2 \sin 35^\circ \cos 10^\circ = \sin(35^\circ + 10^\circ) + \sin(35^\circ - 10^\circ) = \sin 45^\circ + \sin 25^\circ$$ Подставим полученное выражение: $$\sin 45^\circ + \sin 25^\circ - \sin 25^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 2) Упростим выражение $\sin 25^\circ \sin 5^\circ - 0,5 \cos 20^\circ$. Преобразуем произведение в разность по формуле $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))$: $$\sin 25^\circ \sin 5^\circ = \frac{1}{2}(\cos(25^\circ - 5^\circ) - \cos(25^\circ + 5^\circ)) = 0,5(\cos 20^\circ - \cos 30^\circ) = 0,5 \cos 20^\circ - 0,5 \cos 30^\circ$$ Подставим полученное выражение: $$0,5 \cos 20^\circ - 0,5 \cos 30^\circ - 0,5 \cos 20^\circ = -0,5 \cos 30^\circ = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$$ **Ответ:** 1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; 2) $-\frac{\sqrt{3}}{4}$. --- ### 3 1) Докажем тождество: $$\frac{\sin 4\alpha + 2\cos 3\alpha - \sin 2\alpha}{\cos 4\alpha - 2\sin 3\alpha - \cos 2\alpha} = -\operatorname{ctg} 3\alpha$$ Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем крайние слагаемые в числителе и знаменателе: $$\frac{(\sin 4\alpha - \sin 2\alpha) + 2\cos 3\alpha}{(\cos 4\alpha - \cos 2\alpha) - 2\sin 3\alpha}$$ Применим формулы разности синусов и разности косинусов: $\sin 4\alpha - \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos 3\alpha$; $\cos 4\alpha - \cos 2\alpha = -2 \sin 3\alpha \sin \alpha$. Получаем: $$\frac{2 \sin \alpha \cos 3\alpha + 2\cos 3\alpha}{-2 \sin 3\alpha \sin \alpha - 2\sin 3\alpha} = \frac{2 \cos 3\alpha (\sin \alpha + 1)}{-2 \sin 3\alpha (\sin \alpha + 1)}$$ Сократим дробь на общий множитель $2(\sin \alpha + 1)$: $$-\frac{\cos 3\alpha}{\sin 3\alpha} = -\operatorname{ctg} 3\alpha$$ Левая часть тождества равна правой, тождество доказано. 2) Докажем тождество: $$\frac{\cos \alpha + 2\cos 2\alpha + \cos 3\alpha}{\sin \alpha + 2\sin 2\alpha + \sin 3\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha$$ Преобразуем левую часть тождества. Сгруппируем крайние слагаемые: $$\frac{(\cos 3\alpha + \cos \alpha) + 2\cos 2\alpha}{(\sin 3\alpha + \sin \alpha) + 2\sin 2\alpha}$$ Применим формулы суммы косинусов и суммы синусов: $\cos 3\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha$; $\sin 3\alpha + \sin \alpha = 2 \sin \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha$. Получаем: $$\frac{2 \cos 2\alpha \cos \alpha + 2\cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \cos \alpha + 2\sin 2\alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha (\cos \alpha + 1)}{2 \sin 2\alpha (\cos \alpha + 1)}$$ Сократим дробь на общий множитель $2(\cos \alpha + 1)$: $$\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \operatorname{ctg} 2\alpha$$ Левая часть тождества равна правой, тождество доказано.