ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-5. вариант - В1

## ① Вычислите: ### а) $$\frac{\sin \frac{7\pi}{18} - \sin \frac{\pi}{9}}{\cos \frac{7\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{9}}$$ Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{\pi}{9} = \frac{2\pi}{18}$. Применим формулы разности синусов и разности косинусов: $$\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2}$$ $$\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}$$ Найдем полусумму и полуразность углов: $$\frac{x + y}{2} = \frac{\frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi}{18}}{2} = \frac{\frac{9\pi}{18}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{x - y}{2} = \frac{\frac{7\pi}{18} - \frac{2\pi}{18}}{2} = \frac{\frac{5\pi}{18}}{2} = \frac{5\pi}{36}$$ Преобразуем дробь: $$\frac{\sin \frac{7\pi}{18} - \sin \frac{2\pi}{18}}{\cos \frac{7\pi}{18} - \cos \frac{2\pi}{18}} = \frac{2 \sin \frac{5\pi}{36} \cos \frac{\pi}{4}}{-2 \sin \frac{\pi}{4} \sin \frac{5\pi}{36}} = -\frac{\cos \frac{\pi}{4}}{\sin \frac{\pi}{4}} = -\operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = -1$$ **Ответ:** $-1$ --- ### б) **1)** $\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}$, если $\cos \alpha = 0,6$. Применим формулу произведения косинусов: $$\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y))$$ Получаем: $$\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{3\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) + \cos\left(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos \alpha)$$ Вычислим $\cos 2\alpha$ по формуле косинуса двойного угла: $$\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 2 \cdot (0,6)^2 - 1 = 2 \cdot 0,36 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28$$ Подставим найденное значение: $$\frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos \alpha) = \frac{1}{2}(-0,28 + 0,6) = \frac{1}{2} \cdot 0,32 = 0,16$$ **Ответ:** $0,16$ **2)** $\sin \alpha \sin 3\alpha$, если $\cos 2\alpha = -0,8$. Применим формулу произведения синусов: $$\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y))$$ Получаем: $$\sin \alpha \sin 3\alpha = \frac{1}{2}(\cos(3\alpha - \alpha) - \cos(3\alpha + \alpha)) = \frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 4\alpha)$$ Вычислим $\cos 4\alpha$ через $\cos 2\alpha$: $$\cos 4\alpha = 2\cos^2 2\alpha - 1 = 2 \cdot (-0,8)^2 - 1 = 2 \cdot 0,64 - 1 = 1,28 - 1 = 0,28$$ Подставим значения: $$\frac{1}{2}(\cos 2\alpha - \cos 4\alpha) = \frac{1}{2}(-0,8 - 0,28) = \frac{1}{2} \cdot (-1,08) = -0,54$$ **Ответ:** $-0,54$ --- ## ② Упростите выражение: ### а) $$\frac{\sin 6\alpha - \sin 4\alpha + \sin 2\alpha}{4 \cos 3\alpha \cos 2\alpha}$$ Сгруппируем слагаемые в числителе: $$\sin 6\alpha - \sin 4\alpha + \sin 2\alpha = \sin 6\alpha - (\sin 4\alpha - \sin 2\alpha)$$ Преобразуем уменьшаемое по формуле синуса двойного угла: $$\sin 6\alpha = 2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha$$ К выражению в скобках применим формулу разности синусов: $$\sin 4\alpha - \sin 2\alpha = 2 \sin \frac{4\alpha - 2\alpha}{2} \cos \frac{4\alpha + 2\alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos 3\alpha$$ Подставим полученные выражения в числитель и вынесем общий множитель $2\cos 3\alpha$: $$\sin 6\alpha - (\sin 4\alpha - \sin 2\alpha) = 2 \sin 3\alpha \cos 3\alpha - 2 \sin \alpha \cos 3\alpha = 2 \cos 3\alpha (\sin 3\alpha - \sin \alpha)$$ Применим формулу разности синусов к выражению $\sin 3\alpha - \sin \alpha$: $$\sin 3\alpha - \sin \alpha = 2 \sin \frac{3\alpha - \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha + \alpha}{2} = 2 \sin \alpha \cos 2\alpha$$ Числитель принимает вид: $$2 \cos 3\alpha \cdot 2 \sin \alpha \cos 2\alpha = 4 \sin \alpha \cos 2\alpha \cos 3\alpha$$ Подставим полученный числитель в исходную дробь и сократим: $$\frac{4 \sin \alpha \cos 2\alpha \cos 3\alpha}{4 \cos 3\alpha \cos 2\alpha} = \sin \alpha$$ **Ответ:** $\sin \alpha$ --- ### б) $$(\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta) \cdot (\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$$ 1) Преобразуем сумму тангенсов: $$\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$$ 2) Преобразуем сумму косинусов по формуле суммы в произведение: $$\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \cos \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2} = 2 \cos \alpha \cos \beta$$ 3) Перемножим полученные выражения: $$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} \cdot 2 \cos \alpha \cos \beta = 2 \sin(\alpha + \beta)$$ **Ответ:** $2 \sin(\alpha + \beta)$ --- ## ③ Докажите тождество: Так как $A$, $B$ и $C$ — углы треугольника, то $A + B + C = \pi$, откуда: $$A + B = \pi - C \implies \frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$$ По формулам приведения: $$\sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cos \frac{C}{2}, \quad \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \sin \frac{C}{2}, \quad \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{C}{2}$$ --- ### 1) Докажем тождество $\frac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B} = \operatorname{ctg} \frac{C}{2}$: Преобразуем левую часть, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов: $$\frac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B} = \frac{2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}}{2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}} = \frac{\sin \frac{A + B}{2}}{\cos \frac{A + B}{2}} = \operatorname{tg} \frac{A + B}{2}$$ Подставим $\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$: $$\operatorname{tg} \frac{A + B}{2} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \operatorname{ctg} \frac{C}{2}$$ Получили: $\operatorname{ctg} \frac{C}{2} = \operatorname{ctg} \frac{C}{2}$. Тождество доказано. --- ### 2) Докажем тождество $\frac{\cos A - \cos B}{\sin A - \sin B} = -\operatorname{ctg} \frac{C}{2}$: Преобразуем левую часть, используя формулы разности косинусов и разности синусов: $$\frac{\cos A - \cos B}{\sin A - \sin B} = \frac{-2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}}{2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}} = -\frac{\sin \frac{A + B}{2}}{\cos \frac{A + B}{2}} = -\operatorname{tg} \frac{A + B}{2}$$ Подставим $\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$: $$-\operatorname{tg} \frac{A + B}{2} = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = -\operatorname{ctg} \frac{C}{2}$$ Получили: $-\operatorname{ctg} \frac{C}{2} = -\operatorname{ctg} \frac{C}{2}$. Тождество доказано.