ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-4. вариант - В1

### 1 **а)** Вычислим значение выражения $\sin 75^\circ \sin 15^\circ$. Используем формулу приведения $\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ$ и формулу синуса двойного угла: $$ \sin 75^\circ \sin 15^\circ = \cos 15^\circ \sin 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$ Ответ: $\frac{1}{4}$. --- **б)** Вычислим значение выражения: $$ \left( \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \right) \left( \cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12} \right) $$ Разложим сумму кубов во второй скобке по формуле $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $$ \cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12} = \left( \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \right) \left( \cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} + \sin^2 \frac{\pi}{12} \right) $$ Так как $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ и $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$, получаем: $$ \cos^3 \frac{\pi}{12} + \sin^3 \frac{\pi}{12} = \left( \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \right) \left( 1 - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} \right) $$ Подставим это произведение в исходное выражение и перемножим первые две скобки по формуле разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$: $$ \left( \cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12} \right) \left( \cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12} \right) \left( 1 - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} \right) = \left( \cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12} \right) \left( 1 - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} \right) $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$: $$ \cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{12} \right) = \cos \frac{\pi}{6} $$ Подставим табличные значения $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$: $$ \cos \frac{\pi}{6} \left( 1 - \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8} $$ Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{8}$. --- ### 2 По формуле приведения для тангенса: $$ \operatorname{tg}(\pi + 4\alpha) = \operatorname{tg} 4\alpha $$ По условию $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$. Поскольку угол $\alpha$ принадлежит первой четверти, $\sin \alpha > 0$. 1) Найдём $\sin \alpha$ по основному тригонометрическому тождеству: $$ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $$ 2) Найдём $\operatorname{tg} \alpha$: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}} = \frac{1}{2} $$ 3) Найдём $\operatorname{tg} 2\alpha$ по формуле тангенса двойного угла: $$ \operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} $$ 4) Найдём $\operatorname{tg} 4\alpha$: $$ \operatorname{tg} 4\alpha = \frac{2\operatorname{tg} 2\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 2\alpha} = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - \left( \frac{4}{3} \right)^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = -\frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 7} = -\frac{24}{7} = -3\frac{3}{7} $$ Ответ: $-\frac{24}{7}$. --- ### 3 Упростим выражение: $$ \frac{\cos \alpha}{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin \alpha} $$ Преобразуем знаменатель, расписав котангенс половинного угла и синус через аргумент $\frac{\alpha}{2}$: $$ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin \alpha = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} - 2\sin \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2} $$ Приведём к общему знаменателю: $$ \frac{\cos \frac{\alpha}{2} - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}\left(1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)}{\sin \frac{\alpha}{2}} $$ Так как $1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha$, знаменатель принимает вид: $$ \frac{\cos \frac{\alpha}{2}\cos \alpha}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha $$ Подставим полученное выражение в исходную дробь: $$ \frac{\cos \alpha}{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} \cdot \cos \alpha} = \frac{1}{\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}} = \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $$ Ответ: $\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$. --- ### 4 Докажем тождество: $$ \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{1}{\sin 2\alpha} $$ Преобразуем левую часть тождества, выразив котангенсы через синус и косинус: $$ \operatorname{ctg} \alpha - \operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$ Приведём дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\cos \alpha \sin 2\alpha - \sin \alpha \cos 2\alpha}{\sin \alpha \sin 2\alpha} $$ В числителе применим формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: $$ \cos \alpha \sin 2\alpha - \sin \alpha \cos 2\alpha = \sin(2\alpha - \alpha) = \sin \alpha $$ Подставим результат в дробь и выполним сокращение: $$ \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha \sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha} $$ Получили выражение, равное правой части тождества: $$ \frac{1}{\sin 2\alpha} = \frac{1}{\sin 2\alpha} $$ Тождество доказано.