ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-4. вариант - В2

### 1. Найдите значение выражения: **а)** $\sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} \cdot (1 + \sqrt{2})$ Заметим, что подкоренное выражение представляет собой куб разности: $$(1 - \sqrt{2})^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{2} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^3 = 1 - 3\sqrt{2} + 6 - 2\sqrt{2} = 7 - 5\sqrt{2}.$$ Тогда: $$\sqrt[3]{7 - 5\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(1 - \sqrt{2})^3} = 1 - \sqrt{2}.$$ Выполним умножение, применив формулу разности квадратов: $$(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1.$$ Ответ: $-1$. --- **б)** $\frac{\left( \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3x^{\frac{1}{3}} - 1} \right)}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1} \cdot \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}} : \frac{1}{x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}$ при $x = 64$. Вычислим степени числа $x = 64$: $$x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4,$$ $$x^{\frac{2}{3}} = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^2 = 4^2 = 16,$$ $$x^{\frac{4}{3}} = \left(x^{\frac{1}{3}}\right)^4 = 4^4 = 256.$$ Вычислим значение выражения по действиям: 1) Выражение в скобках: $$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{3x^{\frac{1}{3}} - 1} = \frac{1}{16} - \frac{1}{3 \cdot 4 - 1} = \frac{1}{16} - \frac{1}{11} = \frac{11 - 16}{176} = -\frac{5}{176}.$$ 2) Знаменатель первой дроби: $$x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1 = 16 - 4 + 1 = 13.$$ Тогда значение первой дроби: $$-\frac{5}{176} : 13 = -\frac{5}{176 \cdot 13} = -\frac{5}{2288}.$$ 3) Вторая дробь: $$\frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}} = \frac{64 + 1}{16 - 4} = \frac{65}{12}.$$ 4) Делитель: $$x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{1}{3}} = 256 + 4 = 260.$$ Деление на $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}$ равносильно умножению на $260$. 5) Итоговое произведение: $$-\frac{5}{176 \cdot 13} \cdot \frac{65}{12} \cdot 260 = -\frac{5 \cdot 65 \cdot 260}{176 \cdot 13 \cdot 12} = -\frac{5 \cdot 5 \cdot 260}{176 \cdot 12} = -\frac{6500}{2112} = -\frac{1625}{528} = -3\frac{41}{528}.$$ Ответ: $-\frac{1625}{528}$ (или $-3\frac{41}{528}$). --- ### 2. Решите уравнение: **а)** $\sqrt{3 + \sqrt{5 - x}} = \sqrt{x}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} 5 - x \ge 0, \\ x \ge 0 \end{cases} \iff 0 \le x \le 5.$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$3 + \sqrt{5 - x} = x,$$ $$\sqrt{5 - x} = x - 3.$$ Так как левая часть неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$. С учетом ОДЗ получаем $x \in [3; 5]$. Возведем обе части в квадрат еще раз: $$5 - x = (x - 3)^2,$$ $$5 - x = x^2 - 6x + 9,$$ $$x^2 - 5x + 4 = 0.$$ По теореме Виета: $$x_1 = 1,\quad x_2 = 4.$$ Проверим корни по условию $x \in [3; 5]$: - $x = 1$ не удовлетворяет условию $x \ge 3$ (посторонний корень: $\sqrt{5 - 1} \ne 1 - 3$). - $x = 4$ удовлетворяет условию $3 \le 4 \le 5$. Проверка для $x = 4$: $$\sqrt{3 + \sqrt{5 - 4}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2,$$ $$\sqrt{4} = 2.$$ $2 = 2$ — верно. Ответ: $4$. --- **б)** $4\sqrt{\frac{3x - 1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{3x - 1}} = 3$ ОДЗ: $\frac{3x - 1}{x} > 0 \iff x \in (-\infty; 0) \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$. Пусть $t = \sqrt{\frac{3x - 1}{x}}$, где $t > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{x}{3x - 1}} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид: $$4t - \frac{1}{t} = 3.$$ Умножим обе части на $t > 0$: $$4t^2 - 3t - 1 = 0.$$ Дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25.$$ $$t_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1,$$ $$t_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4} < 0\quad \text{(не удовлетворяет условию } t > 0\text{)}.$$ Возвращаемся к замене для $t = 1$: $$\sqrt{\frac{3x - 1}{x}} = 1 \implies \frac{3x - 1}{x} = 1,$$ $$3x - 1 = x,$$ $$2x = 1 \implies x = 0{,}5.$$ Значение $x = 0{,}5$ входит в ОДЗ ($0{,}5 > \frac{1}{3}$). Ответ: $0{,}5$. --- **в)** $\sqrt{x + 2} = \sqrt[3]{3x + 2}$ ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Поскольку $\sqrt{x + 2} \ge 0$, правая часть также неотрицательна: $$\sqrt[3]{3x + 2} \ge 0 \implies 3x + 2 \ge 0 \implies x \ge -\frac{2}{3}.$$ Возведем обе части уравнения в 6-ю степень: $$\left(\sqrt{x + 2}\right)^6 = \left(\sqrt[3]{3x + 2}\right)^6,$$ $$(x + 2)^3 = (3x + 2)^2.$$ Раскроем скобки: $$x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 9x^2 + 12x + 4,$$ $$x^3 - 3x^2 + 4 = 0.$$ Разложим левую часть на множители. Заметим, что при $x = -1$: $$(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0.$$ Разделим многочлен на $(x + 1)$: $$x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 - 4x + 4) = (x + 1)(x - 2)^2 = 0.$$ Корни уравнения: $$x_1 = -1,\quad x_2 = 2.$$ Проверим корни: - $x = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge -\frac{2}{3}$ ($\sqrt{-1 + 2} = 1$, а $\sqrt[3]{3(-1) + 2} = -1 \ne 1$). - $x = 2$ удовлетворяет условию: $\sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ и $\sqrt[3]{3 \cdot 2 + 2} = \sqrt[3]{8} = 2$. Ответ: $2$. --- **г)** $\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{2x - 1}$ Возведем обе части уравнения в куб, используя тождество $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$: $$(x + 7) - x - 3\sqrt[3]{x(x + 7)}\left(\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt[3]{x}\right) = 2x - 1.$$ Подставим в скобки $\sqrt[3]{2x - 1}$ из исходного уравнения: $$7 - 3\sqrt[3]{x(x + 7)(2x - 1)} = 2x - 1,$$ $$3\sqrt[3]{x(x + 7)(2x - 1)} = 8 - 2x.$$ Возведем обе части в куб: $$27x(x + 7)(2x - 1) = (8 - 2x)^3,$$ $$27(x^2 + 7x)(2x - 1) = 8(4 - x)^3,$$ $$27(2x^3 + 13x^2 - 7x) = 8(64 - 48x + 12x^2 - x^3),$$ $$54x^3 + 351x^2 - 189x = 512 - 384x + 96x^2 - 8x^3.$$ Перенесем все члены в левую часть: $$62x^3 + 255x^2 + 195x - 512 = 0.$$ Заметим, что сумма коэффициентов равна нулю: $$62 + 255 + 195 - 512 = 512 - 512 = 0 \implies x = 1\text{ — корень.}$$ Разделим многочлен на $(x - 1)$: $$62x^3 + 255x^2 + 195x - 512 = (x - 1)(62x^2 + 317x + 512) = 0.$$ Найдем корни квадратного трехчлена $62x^2 + 317x + 512 = 0$: $$D = 317^2 - 4 \cdot 62 \cdot 512 = 100489 - 126976 < 0.$$ Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет. Проверка для $x = 1$: $$\sqrt[3]{1 + 7} - \sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{8} - 1 = 2 - 1 = 1,$$ $$\sqrt[3]{2 \cdot 1 - 1} = \sqrt[3]{1} = 1.$$ $1 = 1$ — верно. Ответ: $1$. --- ### 3. Решите систему уравнений: $$\begin{cases} x + y + 2\sqrt{xy} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 12, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases}$$ ОДЗ: $x \ge 0$, $y \ge 0$. Заметим, что $x + y + 2\sqrt{xy} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$. Перепишем первое уравнение: $$(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 + (\sqrt{x} + \sqrt{y}) - 12 = 0.$$ Пусть $u = \sqrt{x} + \sqrt{y}$, где $u \ge 0$. Получаем квадратное уравнение: $$u^2 + u - 12 = 0.$$ По теореме Виета: $$u_1 = 3,\quad u_2 = -4.$$ Так как $u \ge 0$, подходит только $u = 3$, то есть: $$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3.$$ Составим линейную систему относительно $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$: $$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases}$$ Сложим уравнения: $$2\sqrt{x} = 4 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4.$$ Вычтем второе уравнение из первого: $$2\sqrt{y} = 2 \implies \sqrt{y} = 1 \implies y = 1.$$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ. Ответ: $(4; 1)$. --- ### 4. Найдите значения $a$, при которых равносильны неравенства: $$(x - 2)\sqrt{x - a} > 0 \quad \text{и} \quad x > 2.$$ Два неравенства равносильны, если множества их решений совпадают. 1) Множество решений второго неравенства: $$S_2 = (2; +\infty).$$ 2) Найдем множество решений первого неравенства: $$(x - 2)\sqrt{x - a} > 0.$$ Квадратный корень $\sqrt{x - a}$ определен при $x \ge a$. При $x = a$ левая часть обращается в ноль, поэтому строгое неравенство не выполняется. При $x > a$ корень строго положителен, следовательно, на него можно разделить обе части неравенства: $$\begin{cases} x - 2 > 0, \\ x - a > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > a. \end{cases}$$ Множество решений этой системы: $$S_1 = (\max(2; a); +\infty).$$ 3) Неравенства равносильны тогда и только тогда, когда $S_1 = S_2$: $$(\max(2; a); +\infty) = (2; +\infty) \iff \max(2; a) = 2 \iff a \le 2.$$ Ответ: $a \le 2$ (или $a \in (-\infty; 2]$).