ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-5. вариант - Б1

### Решите уравнение: **1)** $\left( \frac{1}{4} \cdot 8^x \right)^{3x+2} = \frac{1}{32^x}$ Приведем обе части уравнения к основанию $2$: $$ \frac{1}{4} \cdot 8^x = 2^{-2} \cdot (2^3)^x = 2^{3x-2} $$ $$ \frac{1}{32^x} = (2^5)^{-x} = 2^{-5x} $$ Подставим преобразованные выражения в уравнение: $$ \left( 2^{3x-2} \right)^{3x+2} = 2^{-5x} $$ $$ 2^{(3x-2)(3x+2)} = 2^{-5x} $$ Применяя формулу разности квадратов в показателе, получаем: $$ 2^{9x^2 - 4} = 2^{-5x} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ 9x^2 - 4 = -5x $$ $$ 9x^2 + 5x - 4 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2 $$ $$ x_1 = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 9} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} $$ $$ x_2 = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 9} = \frac{-18}{18} = -1 $$ Ответ: $-1$; $\frac{4}{9}$. --- **2)** $\left( \frac{1}{27} \cdot 9^x \right)^{2x+3} = \frac{1}{3^{9x}}$ Приведем обе части уравнения к основанию $3$: $$ \frac{1}{27} \cdot 9^x = 3^{-3} \cdot (3^2)^x = 3^{2x-3} $$ $$ \frac{1}{3^{9x}} = 3^{-9x} $$ Тогда уравнение принимает вид: $$ \left( 3^{2x-3} \right)^{2x+3} = 3^{-9x} $$ $$ 3^{(2x-3)(2x+3)} = 3^{-9x} $$ $$ 3^{4x^2 - 9} = 3^{-9x} $$ Приравниваем показатели: $$ 4x^2 - 9 = -9x $$ $$ 4x^2 + 9x - 9 = 0 $$ $$ D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $$ $$ x_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $$ $$ x_2 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-24}{8} = -3 $$ Ответ: $-3$; $\frac{3}{4}$. --- **3)** $9^x + 3^{2x+1} = 4^{x+1}$ Используем свойства степеней $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$ и $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x}$: $$ 3^{2x} + 3 \cdot 3^{2x} = 4 \cdot 4^x $$ $$ 4 \cdot 3^{2x} = 4 \cdot 4^x $$ Разделим обе части уравнения на $4$: $$ 3^{2x} = 4^x $$ $$ 9^x = 4^x $$ Разделим обе части на $4^x \neq 0$: $$ \left( \frac{9}{4} \right)^x = 1 $$ $$ \left( \frac{9}{4} \right)^x = \left( \frac{9}{4} \right)^0 \implies x = 0 $$ Ответ: $0$. --- **4)** $5^{2x+1} - 25^x = 4^{x+1}$ Преобразуем степени: $$ 5 \cdot 5^{2x} - (5^2)^x = 4 \cdot 4^x $$ $$ 5 \cdot 5^{2x} - 5^{2x} = 4 \cdot 4^x $$ $$ 4 \cdot 5^{2x} = 4 \cdot 4^x $$ Разделим обе части уравнения на $4$: $$ 5^{2x} = 4^x $$ $$ 25^x = 4^x $$ Разделим на $4^x \neq 0$: $$ \left( \frac{25}{4} \right)^x = 1 \implies x = 0 $$ Ответ: $0$. --- **5)** $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x = 2 \cdot 25^x$ Уравнение является однородным показательным уравнением второй степени относительно $2^x$ и $5^x$. Разделим обе части на $25^x > 0$: $$ 5 \cdot \left( \frac{4}{25} \right)^x + 3 \cdot \left( \frac{10}{25} \right)^x = 2 $$ $$ 5 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^{2x} + 3 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^x - 2 = 0 $$ Пусть $t = \left( \frac{2}{5} \right)^x$, где $t > 0$: $$ 5t^2 + 3t - 2 = 0 $$ $$ D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$ $$ t_2 = \frac{-3 - 7}{10} = -1 < 0 \quad \text{— не удовлетворяет условию } t > 0 $$ Возвращаемся к замене: $$ \left( \frac{2}{5} \right)^x = \frac{2}{5} \implies x = 1 $$ Ответ: $1$. --- **6)** $3 \cdot 4^x + 6^x = 2 \cdot 9^x$ Разделим обе части на $9^x > 0$: $$ 3 \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^x + \left( \frac{6}{9} \right)^x = 2 $$ $$ 3 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{2x} + \left( \frac{2}{3} \right)^x - 2 = 0 $$ Пусть $t = \left( \frac{2}{3} \right)^x$, где $t > 0$: $$ 3t^2 + t - 2 = 0 $$ $$ D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2 $$ $$ t_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $$ $$ t_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1 < 0 \quad \text{— не удовлетворяет условию } t > 0 $$ Возвращаемся к замене: $$ \left( \frac{2}{3} \right)^x = \frac{2}{3} \implies x = 1 $$ Ответ: $1$. --- ### Решите неравенство: **a)** $\left( \cos \frac{\pi}{10} \right)^{x^2 + x} < 1 - \sin^2 \frac{\pi}{10}$ По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 \frac{\pi}{10} = \cos^2 \frac{\pi}{10}$. Неравенство принимает вид: $$ \left( \cos \frac{\pi}{10} \right)^{x^2 + x} < \left( \cos \frac{\pi}{10} \right)^2 $$ Так как угол $\frac{\pi}{10}$ лежит в первой четверти, то $0 < \cos \frac{\pi}{10} < 1$. Функция $y = a^t$ при $0 < a < 1$ является убывающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $$ x^2 + x > 2 $$ $$ x^2 + x - 2 > 0 $$ Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ равны $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Решаем неравенство методом интервалов: $$ (x + 2)(x - 1) > 0 \implies x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$. --- **b)** $3^{x^2 - 2x + 2} - 3^{x^2 - 2x} \leq 8 \cdot 27^{4-x}$ Вынесем общий множитель в левой части и представим $27$ как $3^3$: $$ 3^{x^2 - 2x} \cdot (3^2 - 1) \leq 8 \cdot (3^3)^{4-x} $$ $$ 3^{x^2 - 2x} \cdot 8 \leq 8 \cdot 3^{3(4-x)} $$ Разделим обе части на $8$: $$ 3^{x^2 - 2x} \leq 3^{12 - 3x} $$ Основание $3 > 1$, следовательно, функция возрастает и знак неравенства сохраняется: $$ x^2 - 2x \leq 12 - 3x $$ $$ x^2 + x - 12 \leq 0 $$ Найдем нули функции $x^2 + x - 12 = 0$: $x_1 = -4$, $x_2 = 3$. Решение квадратного неравенства: $$ [-4; 3] $$ Ответ: $[-4; 3]$. --- **7)** $7^{x^2 + x + 1} - 7^{x^2 + x} \geq 6 \cdot 49^{x + 10}$ Вынесем $7^{x^2 + x}$ за скобки и представим $49$ как $7^2$: $$ 7^{x^2 + x} \cdot (7^1 - 1) \geq 6 \cdot (7^2)^{x + 10} $$ $$ 7^{x^2 + x} \cdot 6 \geq 6 \cdot 7^{2x + 20} $$ Разделим обе части на $6$: $$ 7^{x^2 + x} \geq 7^{2x + 20} $$ Так как основание $7 > 1$, знак неравенства сохраняется: $$ x^2 + x \geq 2x + 20 $$ $$ x^2 - x - 20 \geq 0 $$ Корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$ равны $x_1 = -4$, $x_2 = 5$. Решение неравенства: $$ x \in (-\infty; -4] \cup [5; +\infty) $$ Ответ: $(-\infty; -4] \cup [5; +\infty)$. --- **8)** $2^{4x} - 5 \cdot 4^x \geq -4$ Заметим, что $2^{4x} = (2^2)^{2x} = (4^x)^2$: $$ (4^x)^2 - 5 \cdot 4^x + 4 \geq 0 $$ Пусть $t = 4^x$, где $t > 0$: $$ t^2 - 5t + 4 \geq 0 $$ Корни квадратного трехчлена $t_1 = 1$, $t_2 = 4$: $$ (t - 1)(t - 4) \geq 0 \implies t \leq 1 \quad \text{или} \quad t \geq 4 $$ Возвращаемся к переменной $x$ с учетом условия $t > 0$: 1) $0 < 4^x \leq 1 \implies 4^x \leq 4^0 \implies x \leq 0$ 2) $4^x \geq 4 \implies 4^x \geq 4^1 \implies x \geq 1$ Ответ: $(-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$. --- ### Решите систему уравнений: **Первая система:** $$ \begin{cases} 3^{2x} - (0,25)^y = 5, \\ 3^x + (0,5)^y = 5. \end{cases} $$ Учитывая, что $0,25 = (0,5)^2$, перепишем систему в виде: $$ \begin{cases} (3^x)^2 - ((0,5)^y)^2 = 5, \\ 3^x + (0,5)^y = 5. \end{cases} $$ Пусть $u = 3^x > 0$ и $v = (0,5)^y > 0$: $$ \begin{cases} u^2 - v^2 = 5, \\ u + v = 5. \end{cases} $$ Разложим левую часть первого уравнения на множители: $$ (u - v)(u + v) = 5 $$ Так как $u + v = 5$, получаем: $$ 5(u - v) = 5 \implies u - v = 1 $$ Решим полученную линейную систему: $$ \begin{cases} u + v = 5, \\ u - v = 1. \end{cases} $$ Складывая уравнения, получаем $2u = 6 \implies u = 3$. Вычитая второе из первого, получаем $2v = 4 \implies v = 2$. Оба значения положительны. Возвращаемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} 3^x = 3, \\ (0,5)^y = 2. \end{cases} \iff \begin{cases} 3^x = 3^1, \\ 2^{-y} = 2^1. \end{cases} \iff \begin{cases} x = 1, \\ y = -1. \end{cases} $$ Ответ: $(1; -1)$. --- **Вторая система:** $$ \begin{cases} (0,2)^x - 2^{0,5y} = 3, \\ (0,04)^x - 2^y = 21. \end{cases} $$ Так как $0,04 = (0,2)^2$ и $2^y = (2^{0,5y})^2$, запишем систему: $$ \begin{cases} (0,2)^x - 2^{0,5y} = 3, \\ ((0,2)^x)^2 - (2^{0,5y})^2 = 21. \end{cases} $$ Сделаем замену переменных $u = (0,2)^x > 0$ и $v = 2^{0,5y} > 0$: $$ \begin{cases} u - v = 3, \\ u^2 - v^2 = 21. \end{cases} $$ Разложим второе уравнение: $$ (u - v)(u + v) = 21 \implies 3(u + v) = 21 \implies u + v = 7 $$ Получаем систему: $$ \begin{cases} u + v = 7, \\ u - v = 3. \end{cases} $$ Сложим уравнения: $2u = 10 \implies u = 5$. Вычтем второе из первого: $2v = 4 \implies v = 2$. Оба значения положительны. Выполним обратную замену: $$ \begin{cases} (0,2)^x = 5, \\ 2^{0,5y} = 2. \end{cases} \iff \begin{cases} \left( \frac{1}{5} \right)^x = 5, \\ 2^{0,5y} = 2^1. \end{cases} \iff \begin{cases} 5^{-x} = 5^1 \implies x = -1, \\ 0,5y = 1 \implies y = 2. \end{cases} $$ Ответ: $(-1; 2)$. --- ### Найдите область значений функций: **1)** $y = \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x + 1}$ и $y = \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x} + 1$. Определите, у какой из данных функций областью значений является промежуток большей длины. 1. Для функции $y_1 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x + 1}$: Поскольку для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется $-1 \leq \cos x \leq 1$, то: $$ -1 + 1 \leq \cos x + 1 \leq 1 + 1 \iff 0 \leq \cos x + 1 \leq 2 $$ Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция убывает: $$ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x + 1} \leq \left( \frac{1}{2} \right)^0 $$ $$ \frac{1}{4} \leq y_1 \leq 1 \implies E(y_1) = \left[ \frac{1}{4}; 1 \right] $$ Длина этого промежутка: $$ L_1 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75 $$ 2. Для функции $y_2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x} + 1$: Так как $-1 \leq \cos x \leq 1$, то: $$ \left( \frac{1}{2} \right)^1 \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x} \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} \iff \frac{1}{2} \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x} \leq 2 $$ Прибавим $1$ ко всем частям двойного неравенства: $$ \frac{1}{2} + 1 \leq y_2 \leq 2 + 1 \iff \frac{3}{2} \leq y_2 \leq 3 \implies E(y_2) = [1,5; 3] $$ Длина этого промежутка: $$ L_2 = 3 - 1,5 = 1,5 $$ Сравнивая длины промежутков, получаем: $L_2 = 1,5 > L_1 = 0,75$. Ответ: $E\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\cos x + 1}\right) = [0,25; 1]$; $E\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\cos x} + 1\right) = [1,5; 3]$. Областью значений большей длины обладает функция $y = \left( \frac{1}{2} \right)^{\cos x} + 1$. --- **2)** $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{3 \sin x}$ и $y = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{\sin x}$. Определите, у какой из данных функций областью значений является промежуток большей длины. 1. Для функции $y_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^{3 \sin x}$: Так как $-1 \leq \sin x \leq 1$, то: $$ -3 \leq 3 \sin x \leq 3 $$ Поскольку основание $0 < \frac{1}{3} < 1$, показательная функция убывает: $$ \left( \frac{1}{3} \right)^3 \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{3 \sin x} \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} $$ $$ \frac{1}{27} \leq y_1 \leq 27 \implies E(y_1) = \left[ \frac{1}{27}; 27 \right] $$ Длина этого промежутка: $$ L_1 = 27 - \frac{1}{27} = \frac{728}{27} = 26\frac{26}{27} $$ 2. Для функции $y_2 = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{\sin x}$: Так как $-1 \leq \sin x \leq 1$, то: $$ \left( \frac{1}{3} \right)^1 \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{\sin x} \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} \iff \frac{1}{3} \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{\sin x} \leq 3 $$ Умножим все части на $3$: $$ 3 \cdot \frac{1}{3} \leq y_2 \leq 3 \cdot 3 \iff 1 \leq y_2 \leq 9 \implies E(y_2) = [1; 9] $$ Длина этого промежутка: $$ L_2 = 9 - 1 = 8 $$ Сравнивая длины промежутков, получаем: $L_1 = 26\frac{26}{27} > L_2 = 8$. Ответ: $E\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{3 \sin x}\right) = \left[ \frac{1}{27}; 27 \right]$; $E\left(3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\sin x}\right) = [1; 9]$. Областью значений большей длины обладает функция $y = \left( \frac{1}{3} \right)^{3 \sin x}$.