ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-4. вариант - В1

### 1. Найдите значение выражения: **а)** $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} \cdot (2 - \sqrt{3})$ Упростим подкоренное выражение кубического корня. Представим число $26 + 15\sqrt{3}$ в виде куба суммы $(a + b\sqrt{3})^3$: $$ (a + b\sqrt{3})^3 = a^3 + 3a^2b\sqrt{3} + 9ab^2 + 3\sqrt{3}b^3 = a(a^2 + 9b^2) + b(3a^2 + 3b^2)\sqrt{3} $$ Приравняем рациональную и иррациональную части: $$ \begin{cases} a(a^2 + 9b^2) = 26, \\ 3b(a^2 + b^2) = 15 \implies b(a^2 + b^2) = 5. \end{cases} $$ Так как $a$ и $b$ — целые числа, из второго уравнения при $b = 1$ получаем: $$ a^2 + 1 = 5 \implies a^2 = 4 \implies a = 2 $$ Проверим первое уравнение: $2 \cdot (2^2 + 9 \cdot 1^2) = 2 \cdot 13 = 26$ — равенство верно. Следовательно: $$ 26 + 15\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^3 $$ Извлечем кубический корень: $$ \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{3})^3} = 2 + \sqrt{3} $$ Подставим полученный результат в исходное выражение: $$ (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 $$ Ответ: $1$. --- **б)** $\frac{x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}}{x + x^{\frac{2}{3}}} \cdot \left( \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} - 1} \right)$ при $x = 125$ Преобразуем выражение с помощью замены переменной $t = x^{\frac{1}{3}}$, тогда $x = t^3$: 1) Преобразуем первую дробь: $$ \frac{x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{2}{3}}}{x + x^{\frac{2}{3}}} = \frac{t^5 - t^2}{t^3 + t^2} = \frac{t^2(t^3 - 1)}{t^2(t + 1)} = \frac{t^3 - 1}{t + 1} $$ 2) Преобразуем выражение в скобках, учитывая формулу разности кубов $t^3 - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)$: $$ \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} - 1} = \frac{1}{t^3 - 1} + \frac{1}{t - 1} = \frac{1 + (t^2 + t + 1)}{t^3 - 1} = \frac{t^2 + t + 2}{t^3 - 1} $$ 3) Перемножим полученные дроби: $$ \frac{t^3 - 1}{t + 1} \cdot \frac{t^2 + t + 2}{t^3 - 1} = \frac{t^2 + t + 2}{t + 1} $$ При $x = 125$ значение $t = 125^{\frac{1}{3}} = 5$. Подставим $t = 5$: $$ \frac{5^2 + 5 + 2}{5 + 1} = \frac{25 + 5 + 2}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} $$ Ответ: $5\frac{1}{3}$. --- ### 2. Решите уравнение: **а)** $\sqrt{3} + \sqrt{5 - x} = \sqrt{x}$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} 5 - x \ge 0, \\ x \ge 0 \end{cases} \implies 0 \le x \le 5 $$ Обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат: $$ (\sqrt{3} + \sqrt{5 - x})^2 = (\sqrt{x})^2 $$ $$ 3 + 2\sqrt{3(5 - x)} + 5 - x = x $$ $$ 2\sqrt{15 - 3x} = 2x - 8 $$ Разделим обе части на $2$: $$ \sqrt{15 - 3x} = x - 4 $$ Так как левая часть неотрицательна, правая часть также должна удовлетворять условию $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$. С учетом ОДЗ получаем $x \in [4; 5]$. Возведем обе части в квадрат: $$ 15 - 3x = (x - 4)^2 $$ $$ 15 - 3x = x^2 - 8x + 16 $$ $$ x^2 - 5x + 1 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 $$ $$ x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} $$ Оценим корни: - $\sqrt{21} \approx 4{,}58$, тогда $x_2 \approx \frac{5 - 4{,}58}{2} = 0{,}21 < 4$ — не удовлетворяет условию $x \ge 4$. - $x_1 \approx \frac{5 + 4{,}58}{2} = 4{,}79 \in [4; 5]$ — корень уравнения. Ответ: $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}$. --- **б)** $4\sqrt{3 - \frac{1}{x}} - \sqrt{\frac{x}{3x - 1}} = 3$ Заметим, что $3 - \frac{1}{x} = \frac{3x - 1}{x}$, а под вторым корнем находится взаимно обратная дробь $\frac{x}{3x - 1}$. Пусть $u = \sqrt{\frac{3x - 1}{x}}$, причем $u > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{x}{3x - 1}} = \frac{1}{u}$. Уравнение принимает вид: $$ 4u - \frac{1}{u} = 3 $$ Умножим обе части уравнения на $u > 0$: $$ 4u^2 - 3u - 1 = 0 $$ $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 $$ $$ u_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1, \quad u_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{1}{4} $$ Корень $u_2 = -\frac{1}{4}$ не подходит, так как $u > 0$. Возвращаемся к замене: $$ \sqrt{\frac{3x - 1}{x}} = 1 \implies \frac{3x - 1}{x} = 1 \implies 3x - 1 = x \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$. --- **в)** $\sqrt[3]{x + 7} = \sqrt{x + 3}$ ОДЗ: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$. Возведем обе части уравнения в шестую степень: $$ (x + 7)^2 = (x + 3)^3 $$ $$ x^2 + 14x + 49 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 $$ Перенесем все члены в правую часть: $$ x^3 + 8x^2 + 13x - 22 = 0 $$ Число $x = 1$ является корнем: $1 + 8 + 13 - 22 = 0$. Разделим многочлен на $(x - 1)$: $$ (x - 1)(x^2 + 9x + 22) = 0 $$ Для квадратного трехчлена $x^2 + 9x + 22$: $$ D = 81 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 81 - 88 = -7 < 0 $$ Действительных корней нет. Значение $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge -3$). Ответ: $1$. --- **г)** $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x - 16} = \sqrt[3]{x - 8}$ Обозначим $u = \sqrt[3]{x}$ и $v = \sqrt[3]{x - 16}$. Тогда $u + v = \sqrt[3]{x - 8}$. Возведем обе части равенства $u + v = \sqrt[3]{x - 8}$ в куб, используя формулу $(u + v)^3 = u^3 + v^3 + 3uv(u + v)$: $$ u^3 + v^3 + 3uv(u + v) = x - 8 $$ Подставим значения $u^3 = x$, $v^3 = x - 16$ и $u + v = \sqrt[3]{x - 8}$: $$ x + x - 16 + 3\sqrt[3]{x(x - 16)(x - 8)} = x - 8 $$ $$ 2x - 16 + 3\sqrt[3]{x(x - 16)(x - 8)} = x - 8 $$ $$ 3\sqrt[3]{x(x - 16)(x - 8)} = -(x - 8) $$ Сделаем замену $y = x - 8$. Тогда $x = y + 8$, $x - 16 = y - 8$, а $x(x - 16) = y^2 - 64$: $$ 3\sqrt[3]{(y^2 - 64)y} = -y $$ Возведем обе части уравнения в куб: $$ 27(y^2 - 64)y = -y^3 $$ $$ 27y(y^2 - 64) + y^3 = 0 $$ $$ y(27y^2 - 1728 + y^2) = 0 $$ $$ y(28y^2 - 1728) = 0 \implies y(7y^2 - 432) = 0 $$ Получаем: 1) $y = 0 \implies x - 8 = 0 \implies x_1 = 8$. 2) $7y^2 = 432 \implies y = \pm\sqrt{\frac{432}{7}} = \pm\frac{12\sqrt{21}}{7} \implies x_{2,3} = 8 \pm \frac{12\sqrt{21}}{7}$. Ответ: $8; \; 8 \pm \frac{12\sqrt{21}}{7}$. --- **в) (из параллельного варианта)** $\sqrt{x + 2} = \sqrt[3]{3x + 2}$ ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Возведем обе части в шестую степень: $$ (x + 2)^3 = (3x + 2)^2 $$ $$ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 9x^2 + 12x + 4 $$ $$ x^3 - 3x^2 + 4 = 0 $$ Разложим на множители: $$ (x + 1)(x - 2)^2 = 0 $$ Корни уравнения: $x = -1$ и $x = 2$. Проверим корни: - При $x = -1$: $\sqrt{-1 + 2} = 1$, но $\sqrt[3]{3(-1) + 2} = -1 \ne 1$ (посторонний корень). - При $x = 2$: $\sqrt{2 + 2} = 2$, $\sqrt[3]{3(2) + 2} = \sqrt[3]{8} = 2$ — верно. Ответ: $2$. --- **г) (из параллельного варианта)** $\sqrt[3]{x + 7} - \sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{2x - 1}$ Пусть $u = \sqrt[3]{x + 7}$, $v = -\sqrt[3]{x}$, тогда $u + v = \sqrt[3]{2x - 1}$. Возведем в куб: $$ (x + 7) - x - 3\sqrt[3]{x(x + 7)}\sqrt[3]{2x - 1} = 2x - 1 $$ $$ 7 - 3\sqrt[3]{x(x + 7)(2x - 1)} = 2x - 1 $$ $$ 3\sqrt[3]{x(x + 7)(2x - 1)} = 8 - 2x $$ Возведем обе части в куб: $$ 27(2x^3 + 13x^2 - 7x) = -8(x - 4)^3 $$ $$ 54x^3 + 351x^2 - 189x = -8(x^3 - 12x^2 + 48x - 64) $$ $$ 62x^3 + 255x^2 + 195x - 512 = 0 $$ Заметим, что $x = 1$ является корнем: $$ 62(1) + 255(1) + 195(1) - 512 = 512 - 512 = 0 $$ Разделим на $(x - 1)$: $$ (x - 1)(62x^2 + 317x + 512) = 0 $$ Дискриминант квадратного трехчлена $D = 317^2 - 4 \cdot 62 \cdot 512 = 100489 - 126976 < 0$, других действительных корней нет. Ответ: $1$. --- ### 3. Решите систему уравнений: **Первая система (Вариант В1):** $$ \begin{cases} x + y - 2\sqrt{xy} - \sqrt{x} + \sqrt{y} = 2, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 0$. Заметим, что $x + y - 2\sqrt{xy} = (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$. Тогда первое уравнение перепишется в виде: $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 - (\sqrt{x} - \sqrt{y}) - 2 = 0 $$ Пусть $u = \sqrt{x} - \sqrt{y}$. Получаем квадратное уравнение: $$ u^2 - u - 2 = 0 \implies (u - 2)(u + 1) = 0 $$ Отсюда $u = 2$ или $u = -1$. Рассмотрим два случая: 1) $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 2$: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8. \end{cases} $$ Складывая и вычитая уравнения: $$ 2\sqrt{x} = 10 \implies \sqrt{x} = 5 \implies x = 25 $$ $$ 2\sqrt{y} = 6 \implies \sqrt{y} = 3 \implies y = 9 $$ 2) $\sqrt{x} - \sqrt{y} = -1$: $$ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = -1, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 8. \end{cases} $$ Складывая и вычитая уравнения: $$ 2\sqrt{x} = 7 \implies \sqrt{x} = \frac{7}{2} \implies x = \frac{49}{4} = 12{,}25 $$ $$ 2\sqrt{y} = 9 \implies \sqrt{y} = \frac{9}{2} \implies y = \frac{81}{4} = 20{,}25 $$ Ответ: $(25; 9), \; (12{,}25; 20{,}25)$. --- **Вторая система (Вариант В2):** $$ \begin{cases} x + y + 2\sqrt{xy} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 12, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $$ ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 0$. Заметим, что $x + y + 2\sqrt{xy} = (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2$. Пусть $v = \sqrt{x} + \sqrt{y} \ge 0$. Первое уравнение принимает вид: $$ v^2 + v - 12 = 0 \implies (v + 4)(v - 3) = 0 $$ Так как $v \ge 0$, то $v = 3$. Получаем систему линейных уравнений относительно корней: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 3, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1. \end{cases} $$ Сложим и вычтем уравнения: $$ 2\sqrt{x} = 4 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4 $$ $$ 2\sqrt{y} = 2 \implies \sqrt{y} = 1 \implies y = 1 $$ Ответ: $(4; 1)$. --- ### 4. Найдите значения $a$, при которых равносильны неравенства: **Первая пара (Вариант В1):** $(x - a)\sqrt{x - 2} > 0$ и $x > a$ 1) Решим первое неравенство: Множитель $\sqrt{x - 2}$ имеет смысл при $x \ge 2$, причем при $x = 2$ левая часть равна нулю (не удовлетворяет строгому неравенству), а при $x > 2$ положительна. Следовательно, неравенство равносильно системе: $$ \begin{cases} x > 2, \\ x - a > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 2, \\ x > a. \end{cases} $$ 2) Второе неравенство: $x > a$, его решение — интервал $(a; +\infty)$. 3) Чтобы неравенства были равносильны, их множества решений должны совпадать: - Если $a \ge 2$, то пересечение условий $x > 2$ и $x > a$ дает интервал $(a; +\infty)$, что совпадает с решением второго неравенства. - Если $a < 2$, то пересечение условий $x > 2$ и $x > a$ дает интервал $(2; +\infty)$, который не совпадает с интервалом $(a; +\infty)$. Таким образом, неравенства равносильны при $a \ge 2$. Ответ: $a \ge 2$ (или $a \in [2; +\infty)$). --- **Вторая пара (Вариант В2):** $(x - 2)\sqrt{x - a} > 0$ и $x > 2$ 1) Первое неравенство имеет смысл при $x \ge a$. При $x = a$ левая часть обращается в нуль, а при $x > a$ корень строго положителен. Получаем систему: $$ \begin{cases} x > a, \\ x > 2. \end{cases} $$ 2) Второе неравенство имеет решение $(2; +\infty)$. 3) Множество решений системы $\begin{cases} x > a, \\ x > 2 \end{cases}$ совпадает с интервалом $(2; +\infty)$ тогда и только тогда, когда условие $x > 2$ является более сильным (или совпадающим), то есть $a \le 2$. Ответ: $a \le 2$ (или $a \in (-\infty; 2]$).