ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-4. вариант - Б1

1. Вычислите: а) Применим формулу синуса двойного угла $2 \sin x \cos x = \sin 2x$: $$ 4 \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12} = 2 \cdot \left(2 \sin \frac{7\pi}{12} \cos \frac{7\pi}{12}\right) = 2 \sin \left(2 \cdot \frac{7\pi}{12}\right) = 2 \sin \frac{7\pi}{6} $$ По формуле приведения: $$ \sin \frac{7\pi}{6} = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} $$ Подставим полученное значение: $$ 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 $$ Ответ: $-1$. б) Приведем дроби к общему знаменателю: $$ \frac{\sin 15^\circ}{\sin 5^\circ} - \frac{\cos 15^\circ}{\cos 5^\circ} = \frac{\sin 15^\circ \cos 5^\circ - \cos 15^\circ \sin 5^\circ}{\sin 5^\circ \cos 5^\circ} $$ В числителе применим формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$, а в знаменателе — формулу синуса двойного угла $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$: $$ \frac{\sin (15^\circ - 5^\circ)}{\frac{1}{2} \cdot (2 \sin 5^\circ \cos 5^\circ)} = \frac{\sin 10^\circ}{\frac{1}{2} \sin 10^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 $$ Ответ: $2$. 2. Так как угол $\alpha$ принадлежит II четверти, то $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Разделим все части неравенства на 2: $$ \frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2} $$ Следовательно, угол $\frac{\alpha}{2}$ лежит в I четверти, где синус положителен ($\sin \frac{\alpha}{2} > 0$). Используем формулу половинного аргумента для синуса $\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$: $$ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-0,28)}{2} = \frac{1 + 0,28}{2} = \frac{1,28}{2} = 0,64 $$ Так как $\sin \frac{\alpha}{2} > 0$, получаем: $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{0,64} = 0,8 $$ Ответ: $0,8$. 3. Вынесем общий множитель $4 \sin \alpha \cos \alpha$ за скобки: $$ 4 \sin \alpha \cos^3 \alpha - 4 \sin^3 \alpha \cos \alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) $$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$ и синуса двойного угла $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $$ 2 \cdot (2 \sin \alpha \cos \alpha) \cdot \cos 2\alpha = 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha $$ Снова применим формулу синуса двойного угла: $$ 2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $$ Ответ: $\sin 4\alpha$. 4. Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим знаменатель дроби, выразив тангенсы через синус и косинус: $$ \tan 2\alpha - \tan \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin 2\alpha \cos \alpha - \cos 2\alpha \sin \alpha}{\cos 2\alpha \cos \alpha} $$ Применим в числителе формулу синуса разности: $$ \frac{\sin (2\alpha - \alpha)}{\cos 2\alpha \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos 2\alpha \cos \alpha} $$ Подставим полученное выражение и $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ в исходную дробь: $$ \frac{\tan \alpha}{\tan 2\alpha - \tan \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{\sin \alpha}{\cos 2\alpha \cos \alpha}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \frac{\cos 2\alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = \cos 2\alpha $$ Получили $\cos 2\alpha = \cos 2\alpha$, что совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.