ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-2. вариант - Б2

### Вариант Б2 **1** Дано: $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$ (IV четверть). 1. Найдем тангенс угла $\alpha$, используя формулу связи тангенса и котангенса $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} = -0{,}75$$ 2. Найдем синус угла $\alpha$, используя формулу $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$: $$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$$ Так как угол $\alpha$ принадлежит IV четверти ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$), значение синуса отрицательно: $$\sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5} = -0{,}6$$ 3. Найдем косинус угла $\alpha$, используя определение котангенса $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $$\cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha = \left(-\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5} = 0{,}8$$ Ответ: $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$, $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. --- **2** Упростите выражение: **а)** $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \beta$ Используем тождество $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, откуда $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha = 1$: $$\left(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha\right) - \sin^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$$ По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 \beta = \cos^2 \beta$. Ответ: $\cos^2 \beta$. **б)** $\left(\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha\right)\left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1\right)$ 1. Преобразуем первую скобку, выразив тангенс через отношение синуса к косинусу: $$\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \left(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1\right)$$ Так как $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \operatorname{tg}^2 \alpha$, получаем: $$\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \operatorname{tg}^2 \alpha$$ 2. Преобразуем вторую скобку: $$\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1 = \left(1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha\right) - 1 = \operatorname{ctg}^2 \alpha$$ 3. Перемножим полученные выражения, учитывая, что $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1$: $$\left(\sin^2 \alpha \operatorname{tg}^2 \alpha\right) \cdot \operatorname{ctg}^2 \alpha = \sin^2 \alpha \cdot (\operatorname{tg} \alpha \operatorname{ctg} \alpha)^2 = \sin^2 \alpha \cdot 1^2 = \sin^2 \alpha$$ Ответ: $\sin^2 \alpha$. --- **3** Докажите тождество варианта Б2: $$\frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha)} + 2\operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ Преобразуем левую часть тождества: 1. В знаменателе дроби применим формулу разности квадратов и основное тригонометрическое тождество: $$(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$$ 2. Числитель дроби разложим как разность квадратов: $$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)$$ Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, получаем: $$\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha$$ 3. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь и почленно разделим: $$\frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha$$ 4. Подставим результат в левую часть равенства: $$(1 - \operatorname{ctg}^2 \alpha) + 2\operatorname{ctg}^2 \alpha = 1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha$$ По тождеству $1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ получаем: $$\frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ Левая часть равна правой части, тождество доказано. *(Примечание: в тексте задания условие № 3 образовано слиянием параллельных колонок вариантов Б1 и Б2 из печатного сборника).* --- ### Вариант Б1 **1** Дано: $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (II четверть). 1. Найдем котангенс: $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{1}{-\frac{3}{4}} = -\frac{4}{3}$$ 2. Найдем косинус из формулы $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $$\frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$$ Во II четверти косинус отрицателен ($\cos \alpha < 0$): $$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} = -0{,}8$$ 3. Найдем синус: $$\sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5} = 0{,}6$$ Ответ: $\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{4}{3}$, $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. --- **2** Упростите выражение: **а)** $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \beta$ Так как $\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \operatorname{ctg}^2 \alpha = 1$: $$1 - \cos^2 \beta = \sin^2 \beta$$ Ответ: $\sin^2 \beta$. **б)** $\left(\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha\right)\left(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1\right)$ 1. $\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha = \cos^2 \alpha \left(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1\right) = \cos^2 \alpha \operatorname{ctg}^2 \alpha$. 2. $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1 = \operatorname{tg}^2 \alpha$. 3. Перемножаем: $$\left(\cos^2 \alpha \operatorname{ctg}^2 \alpha\right) \cdot \operatorname{tg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot (\operatorname{ctg} \alpha \operatorname{tg} \alpha)^2 = \cos^2 \alpha \cdot 1 = \cos^2 \alpha$$ Ответ: $\cos^2 \alpha$. --- **3** Докажите тождество варианта Б1: $$\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} + 2\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ Преобразуем левую часть: 1. Знаменатель: $(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$. 2. Числитель: $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. 3. Дробь: $$\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = 1 - \operatorname{tg}^2 \alpha$$ 4. Подставим в левую часть: $$(1 - \operatorname{tg}^2 \alpha) + 2\operatorname{tg}^2 \alpha = 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ Тождество доказано.