ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-2. вариант - А2

1. Так как угол $\alpha$ принадлежит I четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), все его тригонометрические функции принимают положительные значения. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6 $$ (Аналогично, если исходить из $\cos \alpha = 0,6$, то $\sin \alpha = \sqrt{1 - 0,6^2} = 0,8$). Находим тангенс угла $\alpha$: $$ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} $$ Находим котангенс угла $\alpha$: $$ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{3}{4} = 0,75 $$ Ответ: $\cos \alpha = 0,6$; $\operatorname{tg} \alpha = 1\frac{1}{3}$; $\operatorname{ctg} \alpha = 0,75$. --- 2. Упростим выражения: а) Воспользуемся тождеством $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ и формулой $1 + \operatorname{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$: $$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \beta = 1 + \operatorname{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} $$ Ответ: $\frac{1}{\cos^2 \beta}$. б) Применим формулы $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ и $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$: $$ \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} \cdot (1 - \sin^2 \alpha) = \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha $$ Так как $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получаем: $$ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $$ Ответ: $\sin^2 \alpha$. --- 3. Докажем тождество: $$ \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha $$ Преобразуем левую часть равенства, выразив $\operatorname{ctg} \alpha$ через $\operatorname{tg} \alpha$ ($\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$): $$ \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha}} $$ Выполним деление: $$ (1 + \operatorname{tg} \alpha) \cdot \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha + 1} = \operatorname{tg} \alpha $$ Получили $\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha$. Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.