ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы самостоятельные работы / С-2. вариант - А1

### 1 **При условии $\sin \alpha = 0,8$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$:** 1. Так как угол $\alpha$ принадлежит I четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), косинус в этой четверти положителен ($\cos \alpha > 0$). Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$$ 2. Находим тангенс угла $\alpha$: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$ 3. Находим котангенс угла $\alpha$: $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{3}{4} = 0,75$$ Ответ: $\cos \alpha = 0,6$; $\operatorname{tg} \alpha = 1\frac{1}{3}$; $\operatorname{ctg} \alpha = 0,75$. --- **При условии $\cos \alpha = 0,6$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$:** 1. Так как угол $\alpha$ принадлежит I четверти ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$), синус в этой четверти положителен ($\sin \alpha > 0$): $$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$$ 2. Находим тангенс угла $\alpha$: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0,8}{0,6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$ 3. Находим котангенс угла $\alpha$: $$\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{3}{4} = 0,75$$ Ответ: $\sin \alpha = 0,8$; $\operatorname{tg} \alpha = 1\frac{1}{3}$; $\operatorname{ctg} \alpha = 0,75$. --- ### 2 **Первый вариант заданий:** а) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \beta$ Применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, а затем формулу связи тангенса и косинуса $1 + \operatorname{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \operatorname{tg}^2 \beta = 1 + \operatorname{tg}^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta}$$ Ответ: $\frac{1}{\cos^2 \beta}$. б) $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} \cdot (1 - \sin^2 \alpha)$ Так как $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$, то $\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} = \operatorname{tg}^2 \alpha$. По основному тригонометрическому тождеству $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$: $$\frac{\operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} \cdot (1 - \sin^2 \alpha) = \operatorname{tg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$$ Ответ: $\sin^2 \alpha$. --- **Второй вариант заданий:** а) $\operatorname{tg} \beta \operatorname{ctg} \beta - \sin^2 \alpha$ Используем свойство взаимно обратных функций $\operatorname{tg} \beta \operatorname{ctg} \beta = 1$: $$\operatorname{tg} \beta \operatorname{ctg} \beta - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$ Ответ: $\cos^2 \alpha$. б) $\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ Используем соотношения $\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha$ и $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$: $$\frac{\operatorname{ctg} \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$$ Ответ: $\frac{1}{\sin^2 \alpha}$. --- ### 3 **Доказательство тождества:** $$\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$$ Преобразуем левую часть тождества, выразив котангенс через тангенс ($\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}$): $$\frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha}} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{\frac{\operatorname{tg} \alpha + 1}{\operatorname{tg} \alpha}} = \frac{(1 + \operatorname{tg} \alpha) \cdot \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{tg} \alpha$$ Получили $\operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha$. Тождество доказано. --- **Доказательство тождества:** $$\frac{1 + \operatorname{ctg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$$ Преобразуем левую часть тождества, выразив тангенс через котангенс ($\operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}$): $$\frac{1 + \operatorname{ctg} \alpha}{1 + \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1 + \operatorname{ctg} \alpha}{1 + \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha}} = \frac{1 + \operatorname{ctg} \alpha}{\frac{\operatorname{ctg} \alpha + 1}{\operatorname{ctg} \alpha}} = \frac{(1 + \operatorname{ctg} \alpha) \cdot \operatorname{ctg} \alpha}{1 + \operatorname{ctg} \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha$$ Получили $\operatorname{ctg} \alpha = \operatorname{ctg} \alpha$. Тождество доказано.