ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-13. вариант - А1

### 1. Всего в колоде $n = 36$ карт. Каждая карта может быть извлечена с равной вероятностью. **Вариант А1:** **а) Карта окажется валетом** В колоде из 36 карт содержатся 4 валета (по одному каждой масти), следовательно, число благоприятных исходов $m = 4$. По классическому определению вероятности: $$ P = \frac{m}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $$ **б) Карта окажется бубновой** В колоде 4 масти, в каждой масти по $36 : 4 = 9$ карт. Таким образом, карт бубновой масти $m = 9$. $$ P = \frac{m}{n} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ *(Для второго столбца / Варианта А2):* **а) Карта окажется тузом** В колоде 4 туза, $m = 4$: $$ P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} $$ **б) Карта окажется пиковой** Карт пиковой масти $m = 9$: $$ P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} = 0{,}25 $$ **Ответ:** Вариант А1: а) $\dfrac{1}{9}$; б) $0{,}25$. *(Вариант А2: а) $\dfrac{1}{9}$; б) $0{,}25$.)* --- ### 2. События попадания в различные зоны мишени при одном выстреле являются несовместными. По условию: - вероятность выбить 10 очков: $P(10) = 0{,}05$; - вероятность выбить 9 очков: $P(9) = 0{,}1$; - вероятность выбить 8 очков: $P(8) = 0{,}2$; - вероятность выбить 7 очков: $P(7) = 0{,}4$. **Вариант А1:** **а) Больше семи очков** Событие «выбито больше 7 очков» означает, что стрелок выбил 8, 9 или 10 очков. По теореме сложения вероятностей несовместных событий: $$ P(> 7) = P(8) + P(9) + P(10) = 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}35 $$ **б) Не больше восьми очков** Событие «выбито не больше 8 очков» является противоположным событию «выбито больше 8 очков» (то есть выбито 9 или 10 очков). Вероятность выбить больше 8 очков: $$ P(> 8) = P(9) + P(10) = 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}15 $$ Тогда вероятность выбить не больше 8 очков равна: $$ P(\le 8) = 1 - P(> 8) = 1 - 0{,}15 = 0{,}85 $$ *(Для второго столбца / Варианта А2):* **а) Больше восьми очков** $$ P(> 8) = P(9) + P(10) = 0{,}1 + 0{,}05 = 0{,}15 $$ **б) Не больше семи очков** Это событие противоположно событию «больше 7 очков»: $$ P(\le 7) = 1 - P(> 7) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65 $$ **Ответ:** Вариант А1: а) $0{,}35$; б) $0{,}85$. *(Вариант А2: а) $0{,}15$; б) $0{,}65$.)* --- ### 3. Пусть событие $A_1$ — заготовка качественно обработана на первом станке, а событие $A_2$ — заготовка качественно обработана на втором станке. События $A_1$ и $A_2$ независимы. По условию: - первый станок производит $97\%$ качественной продукции: $P(A_1) = 0{,}97$; - второй станок выдает $3\%$ брака, значит, качественную продукцию он производит с вероятностью $P(A_2) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$. **Вариант А1: Деталь будет качественной** Деталь будет качественной, если она успешно пройдет обработку на обоих станках, то есть произойдет совмещение независимых событий $A_1$ и $A_2$: $$ P(A) = P(A_1) \cdot P(A_2) = 0{,}97 \cdot 0{,}97 = 0{,}9409 $$ *(Для второго столбца / Варианта А2: Деталь будет бракованной)* Событие «деталь бракованная» противоположно событию «деталь качественная»: $$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}9409 = 0{,}0591 $$ **Ответ:** Вариант А1: $0{,}9409$ (или $94{,}09\%$). *(Вариант А2: $0{,}0591$ (или $5{,}91\%$).)* --- ### 4. При каждом броске симметричной монеты орел и решка выпадают с вероятностью $0{,}5$. Всего возможных равновероятных исходов при трех бросаниях: $$ n = 2^3 = 8 $$ Событие $A$ — «орел выпадет все три раза» — состоит из одного исхода (ООО). Его вероятность: $$ P(A) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} = 0{,}125 $$ Событие $\overline{A}$ — «орел не выпадет все три раза» — является противоположным к событию $A$: $$ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}125 = 0{,}875 $$ Сравним полученную вероятность с требуемой: $$ 0{,}875 < 0{,}9 $$ Так как вероятность события равна $0{,}875$, что строго меньше $0{,}9$, утверждать это с вероятностью $0{,}9$ нельзя. **Ответ:** нельзя. --- ### 6. Имеем схему независимых испытаний Бернулли, где $n = 4$ (число прохожих мужчин). Вероятность встретить мужчину-блондина в каждом отдельном случае (вероятность «успеха») равна $p = 0{,}4$. Вероятность встретить мужчину не блондина: $$ q = 1 - p = 1 - 0{,}4 = 0{,}6 $$ Требуется найти вероятность того, что среди 4 мужчин встретится ровно один блондин ($k = 1$). По формуле Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$: $$ P_4(1) = C_4^1 \cdot p^1 \cdot q^3 $$ Число сочетаний: $$ C_4^1 = 4 $$ Вычисляем вероятность: $$ P_4(1) = 4 \cdot 0{,}4^1 \cdot 0{,}6^3 = 4 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}216 = 1{,}6 \cdot 0{,}216 = 0{,}3456 $$ **Ответ:** $0{,}3456$.