ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-12. вариант - В1

### 1. **а)** Найдем значение выражения $\frac{A_n^{n-2}}{P_{n-2}} - C_n^2$. По определению числа размещений и перестановок при $n \ge 2, n \in \mathbb{N}$: $$ A_n^{n-2} = \frac{n!}{(n - (n - 2))!} = \frac{n!}{2!} $$ $$ P_{n-2} = (n - 2)! $$ Тогда отношение равно: $$ \frac{A_n^{n-2}}{P_{n-2}} = \frac{n!}{2! \cdot (n - 2)!} = C_n^2 $$ Подставим полученное выражение в исходную разность: $$ \frac{A_n^{n-2}}{P_{n-2}} - C_n^2 = C_n^2 - C_n^2 = 0 $$ **Ответ:** $0$ **б)** Найдем сумму биномиальных коэффициентов и сумму коэффициентов разложения бинома $(2x - 1)^9$. 1. Сумма всех биномиальных коэффициентов разложения бинома степени $n$ равна $2^n$. При $n = 9$: $$ \sum_{k=0}^9 C_9^k = 2^9 = 512 $$ 2. Сумма всех коэффициентов многочлена равна его значению при $x = 1$: $$ (2 \cdot 1 - 1)^9 = 1^9 = 1 $$ **Ответ:** сумма биномиальных коэффициентов равна $512$; сумма коэффициентов разложения равна $1$. --- ### 2. Даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. На прямой $l_1$ выбрано 5 точек, а на прямой $l_2$ — 4 точки. Всего дано $5 + 4 = 9$ точек. **а)** Прямая является секущей данных параллельных прямых тогда и только тогда, когда она пересекает обе прямые, то есть проходит через одну точку прямой $l_1$ и одну точку прямой $l_2$. Каждая пара, составленная из одной точки прямой $l_1$ и одной точки прямой $l_2$, задает единственную секущую. По правилу произведения число таких секущих равно: $$ 5 \cdot 4 = 20 $$ **Ответ:** $20$ **б)** Треугольник однозначно задается тремя вершинами, не лежащими на одной прямой. Тройку вершин можно выбрать двумя взаимоисключающими способами: 1. Две точки на прямой $l_1$ и одна точка на прямой $l_2$: $$ C_5^2 \cdot C_4^1 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 4 = 10 \cdot 4 = 40 $$ 2. Одна точка на прямой $l_1$ и две точки на прямой $l_2$: $$ C_5^1 \cdot C_4^2 = 5 \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} = 5 \cdot 6 = 30 $$ Общее количество треугольников: $$ 40 + 30 = 70 $$ *(Второй способ: из общего числа троек точек $C_9^3 = 84$ вычесть тройки, лежащие на одной прямой: $C_5^3 = 10$ и $C_4^3 = 4$, что дает $84 - 10 - 4 = 70$.)* **Ответ:** $70$ --- ### 3. Найдем наибольший член разложения бинома $(1 + \sqrt{2})^{50}$. Общий член разложения имеет вид: $$ T_{k+1} = C_{50}^k \cdot 1^{50-k} \cdot (\sqrt{2})^k = C_{50}^k (\sqrt{2})^k, \quad k \in \{0, 1, \dots, 50\} $$ Рассмотрим отношение последующего члена к предыдущему: $$ \frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{C_{50}^k (\sqrt{2})^k}{C_{50}^{k-1} (\sqrt{2})^{k-1}} = \frac{\frac{50!}{k!(50-k)!}}{\frac{50!}{(k-1)!(51-k)!}} \cdot \sqrt{2} = \frac{51 - k}{k} \sqrt{2} $$ Члены разложения возрастают, пока $\frac{T_{k+1}}{T_k} > 1$: $$ \frac{51 - k}{k} \sqrt{2} > 1 $$ $$ (51 - k)\sqrt{2} > k $$ $$ 51\sqrt{2} > k(1 + \sqrt{2}) $$ $$ k < \frac{51\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} = 51\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1) = 51(2 - \sqrt{2}) = 102 - 51\sqrt{2} $$ Так как $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$, получаем: $$ 102 - 51\sqrt{2} \approx 102 - 72{,}12 = 29{,}88 $$ Следовательно: - при $k \le 29$ выполняется $\frac{T_{k+1}}{T_k} > 1$, то есть $T_1 < T_2 < \dots < T_{29} < T_{30}$; - при $k \ge 30$ выполняется $\frac{T_{k+1}}{T_k} < 1$, то есть $T_{30} > T_{31} > \dots > T_{51}$. Таким образом, наибольшим членом разложения является тридцатый член ($k = 29$): $$ T_{30} = C_{50}^{29} (\sqrt{2})^{29} = C_{50}^{29} \cdot 2^{14}\sqrt{2} = 16384\sqrt{2} \cdot C_{50}^{21} $$ **Ответ:** $T_{30} = C_{50}^{29} (\sqrt{2})^{29} = 16384\sqrt{2} \cdot C_{50}^{21}$ --- ### 4. Всего существует $P_6 = 6! = 720$ различных перестановок шести выступающих. В любой перестановке выступающие $A$, $B$ и $C$ занимают три определенные позиции. Число способов взаимного расположения трех человек на этих позициях равно $3! = 6$: $ABC, \ ACB, \ BAC, \ BCA, \ CAB, \ CBA$. В силу равноправности всех перестановок каждый из этих 6 вариантов взаимного порядка встречается одинаково часто. Условию «выступающий $A$ должен выступить раньше $B$ и $C$» удовлетворяют 2 порядка из 6 (варианты $ABC$ и $ACB$). Следовательно, искомое число регламентов составляет $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ от общего количества перестановок: $$ N = \frac{6!}{3} = \frac{720}{3} = 240 $$ **Ответ:** $240$ --- ### 5. Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} C_{x-1}^y = 10, \\ C_x^{y+1} = \frac{5}{2}x \end{cases} $$ По смыслу биномиальных коэффициентов $x, y \in \mathbb{N}$, причем $0 \le y \le x - 1$ и $y + 1 \le x$. Преобразуем выражение $C_x^{y+1}$: $$ C_x^{y+1} = \frac{x!}{(y+1)!(x - y - 1)!} = \frac{x}{y+1} \cdot \frac{(x-1)!}{y!(x - 1 - y)!} = \frac{x}{y+1} \cdot C_{x-1}^y $$ Подставим полученное соотношение во второе уравнение системы: $$ \frac{x}{y+1} \cdot C_{x-1}^y = \frac{5}{2}x $$ Так как $x \ge 1$, разделим обе части на $x$: $$ \frac{C_{x-1}^y}{y+1} = \frac{5}{2} $$ Используя первое уравнение $C_{x-1}^y = 10$, найдем $y$: $$ \frac{10}{y+1} = \frac{5}{2} $$ $$ 5(y + 1) = 20 \implies y + 1 = 4 \implies y = 3 $$ Подставим $y = 3$ в первое уравнение: $$ C_{x-1}^3 = 10 $$ $$ \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{3!} = 10 $$ $$ (x-1)(x-2)(x-3) = 60 $$ Произведение трех последовательных натуральных чисел равно 60. Так как $60 = 5 \cdot 4 \cdot 3$, получаем: $$ x - 1 = 5 \implies x = 6 $$ Проверим ограничения: $y = 3 \le 6 - 1 = 5$ и $y + 1 = 4 \le 6$ — условия выполняются. **Ответ:** $x = 6, \ y = 3$ (или $(6; 3)$)