ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-13. вариант - Б1

### 1. Всего существует $99 - 10 + 1 = 90$ двузначных чисел (от $10$ до $99$). Общее число возможных исходов $n = 90$. **Основное задание (Вариант Б1):** а) Число делится на $5$. Двузначные числа, кратные $5$: $10, 15, 20, \ldots, 95$. Количество таких чисел: $$ m = \frac{95 - 10}{5} + 1 = 17 + 1 = 18 $$ Искомая вероятность: $$ P = \frac{m}{n} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} = 0,2 $$ б) Число содержит в записи цифру $0$. В двузначном числе ноль может стоять только на месте единиц (в разряде десятков ноль стоять не может). Это числа, оканчивающиеся на ноль: $10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90$. Количество таких чисел: $m = 9$. Искомая вероятность: $$ P = \frac{m}{n} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} = 0,1 $$ **Дополнительный блок (Вариант Б2):** а) Число делится на $10$. Числа: $10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90$ ($m = 9$). $$ P = \frac{9}{90} = 0,1 $$ б) Число содержит в записи цифру $9$. — с девяткой в разряде десятков: от $90$ до $99$ (всего $10$ чисел); — с девяткой в разряде единиц: $19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99$ (всего $9$ чисел). Число $99$ входит в обе группы, поэтому количество благоприятных исходов: $$ m = 10 + 9 - 1 = 18 $$ Искомая вероятность: $$ P = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} = 0,2 $$ **Ответ:** Для Б1: а) $0,2$; б) $0,1$. Для Б2: а) $0,1$; б) $0,2$. --- ### 2. Пусть событие $C$ — Бендер жульничает, тогда противоположное событие $\overline{C}$ — не жульничает: $$ P(C) = 0,6; \quad P(\overline{C}) = 1 - 0,6 = 0,4 $$ Вероятности результатов партии: — выигрыш ($B$): $P(B) = 0,1$; — ничья ($D$): $P(D) = 0,2$; — проигрыш ($L$): $P(L) = 1 - 0,1 - 0,2 = 0,7$. Тогда: — вероятность не выиграть (ничья или проигрыш): $$ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,1 = 0,9 $$ — вероятность не проиграть (выигрыш или ничья): $$ P(\overline{L}) = 1 - P(L) = 1 - 0,7 = 0,3 $$ Так как жульничество и исход партии рассматриваются как независимые события, применяем теорему умножения вероятностей независимых событий: **Основное задание (Вариант Б1):** а) Бендер жульничал и не выиграл: $$ P(C \cdot \overline{B}) = P(C) \cdot P(\overline{B}) = 0,6 \cdot 0,9 = 0,54 $$ б) Бендер не жульничал и не проиграл: $$ P(\overline{C} \cdot \overline{L}) = P(\overline{C}) \cdot P(\overline{L}) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12 $$ **Дополнительный блок (Вариант Б2):** а) Бендер не жульничал и не выиграл: $$ P(\overline{C} \cdot \overline{B}) = P(\overline{C}) \cdot P(\overline{B}) = 0,4 \cdot 0,9 = 0,36 $$ б) Бендер жульничал и не проиграл: $$ P(C \cdot \overline{L}) = P(C) \cdot P(\overline{L}) = 0,6 \cdot 0,3 = 0,18 $$ **Ответ:** Для Б1: а) $0,54$; б) $0,12$. Для Б2: а) $0,36$; б) $0,18$. --- ### 3. Пусть события состоят в том, что ученики решают задачу правильно: — для первого ученика: ошибается в $10\%$ случаев, значит, решает правильно с вероятностью $P(A_1) = 1 - 0,10 = 0,90$, а вероятность ошибки $P(\overline{A_1}) = 0,10$; — для второго ученика: ошибается в $15\%$ случаев, значит, $P(A_2) = 1 - 0,15 = 0,85$, а вероятность ошибки $P(\overline{A_2}) = 0,15$; — для третьего ученика: решает правильно в $80\%$ случаев, значит, $P(A_3) = 0,80$, а вероятность ошибки $P(\overline{A_3}) = 1 - 0,80 = 0,20$. Ученики решают задачу независимо друг от друга. **1) Вероятность того, что хотя бы один ученик решит задачу правильно:** Противоположным является событие «все три ученика ошиблись». Вероятность того, что все трое ошибутся: $$ P(\overline{A_1} \cdot \overline{A_2} \cdot \overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \cdot P(\overline{A_2}) \cdot P(\overline{A_3}) = 0,10 \cdot 0,15 \cdot 0,20 = 0,003 $$ Тогда вероятность того, что хотя бы один решит задачу правильно: $$ P = 1 - 0,003 = 0,997 $$ **2) Вероятность того, что хотя бы один ученик ошибется:** Противоположным является событие «все три ученика решили задачу правильно». Вероятность того, что все трое решат правильно: $$ P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) = 0,90 \cdot 0,85 \cdot 0,80 = 0,612 $$ Тогда вероятность того, что хотя бы один ошибется: $$ P = 1 - 0,612 = 0,388 $$ **Ответ:** Если требуется найти вероятность того, что хотя бы один решит правильно: $0,997$. Если требуется найти вероятность того, что хотя бы один ошибется: $0,388$. --- ### 4. При двукратном бросании кубика общее число равновозможных элементарных исходов равно: $$ n = 6 \cdot 6 = 36 $$ Пусть событие $A$ — «выпадет сумма больше $3$». Рассмотрим противоположное событие $\overline{A}$ — «выпадет сумма не больше $3$» (то есть сумма равна $2$ или $3$). Сумма очков меньше либо равна $3$ возможна в следующих исходах: — сумма равна $2$: $(1; 1)$ — $1$ исход; — сумма равна $3$: $(1; 2)$ и $(2; 1)$ — $2$ исхода. Всего неблагоприятных исходов: $$ m(\overline{A}) = 1 + 2 = 3 $$ Количество благоприятных исходов для события $A$: $$ m(A) = 36 - 3 = 33 $$ Вероятность события $A$: $$ P(A) = \frac{33}{36} = \frac{11}{12} \approx 0,9167 $$ Сравним полученную вероятность со значением $0,95$: $$ \frac{11}{12} = \frac{55}{60}, \quad 0,95 = \frac{19}{20} = \frac{57}{60} $$ Так как $\frac{55}{60} < \frac{57}{60}$, то $P(A) < 0,95$. Следовательно, утверждать с вероятностью $0,95$, что сумма будет больше трех, нельзя. **Ответ:** нельзя (вероятность равна $\frac{11}{12} \approx 0,917$, что меньше $0,95$). --- ### 5. Имеем схему независимых повторных испытаний (схему Бернулли) с параметрами: — число испытаний $n = 4$; — вероятность «успеха» (встретить мужчину-блондина) $p = 0,4$; — вероятность противоположного события $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$. Пусть случайная величина $X$ — число встретившихся блондинов. Событие «встретится не менее двух блондинов» означает, что $X \ge 2$ (то есть $X = 2$, $X = 3$ или $X = 4$). Вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях определяется формулой Бернулли: $$ P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} $$ Найдем вероятность через противоположное событие (встретится менее двух блондинов: $X = 0$ или $X = 1$): $$ P_4(0) = C_4^0 \cdot p^0 \cdot q^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0,6^4 = 0,1296 $$ $$ P_4(1) = C_4^1 \cdot p^1 \cdot q^3 = 4 \cdot 0,4 \cdot 0,6^3 = 4 \cdot 0,4 \cdot 0,216 = 0,3456 $$ Вероятность противоположного события: $$ P(X < 2) = P_4(0) + P_4(1) = 0,1296 + 0,3456 = 0,4752 $$ Тогда искомая вероятность: $$ P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0,4752 = 0,5248 $$ **Ответ:** $0,5248$.