ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-11. вариант - Б1

**1)** а) Выполним действия по действиям: 1. Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(1 - 2i)$: $$ \frac{5 - 15i}{1 + 2i} = \frac{(5 - 15i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{5 - 10i - 15i + 30i^2}{1^2 - (2i)^2} $$ Так как $i^2 = -1$: $$ \frac{5 - 25i - 30}{1 + 4} = \frac{-25 - 25i}{5} = -5 - 5i $$ 2. Возведем выражение в квадрат: $$ (1 - 3i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3i + (3i)^2 = 1 - 6i + 9i^2 = 1 - 6i - 9 = -8 - 6i $$ 3. Выполним вычитание: $$ (-5 - 5i) - (-8 - 6i) = -5 - 5i + 8 + 6i = 3 + i $$ Ответ: $3 + i$. б) Вычислим значение выражения: $$ \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) \cdot i^{23} \cdot (2 - 2i) $$ 1. Переведем тригонометрическую часть в алгебраическую форму: $$ \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i $$ 2. Вычислим степень мнимой единицы: $$ i^{23} = i^{20 + 3} = (i^4)^5 \cdot i^3 = 1^5 \cdot (-i) = -i $$ 3. Перемножим множители: $$ (-1 + i) \cdot (-i) = i - i^2 = i - (-1) = 1 + i $$ $$ (1 + i)(2 - 2i) = 2(1 + i)(1 - i) = 2(1 - i^2) = 2(1 - (-1)) = 2 \cdot 2 = 4 $$ Ответ: $4$. --- **2)** Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда $\text{Re } z = x$, $\text{Im } z = y$. Запишем систему условий: $$ \begin{cases} |x + i(y + 3)| \leq 3, \\ x > -y \end{cases} $$ 1. Неравенство $|x + i(y + 3)| \leq 3$ преобразуется к виду: $$ \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} \leq 3 \iff x^2 + (y + 3)^2 \leq 9 $$ Это уравнение задает круг радиуса $R = 3$ с центром в точке $(0; -3)$ (включая границу — окружность). 2. Второе неравенство: $$ y > -x $$ Оно задает открытую полуплоскость, расположенную строго выше прямой $y = -x$ (сама прямая не включается). Прямая $y = -x$ пересекает граничную окружность $x^2 + (y + 3)^2 = 9$ в точках $(0; 0)$ и $(3; -3)$, так как: $$ x^2 + (-x + 3)^2 = 9 \iff 2x^2 - 6x = 0 \iff x_1 = 0, \; x_2 = 3 $$ Центр круга $(0; -3)$ не удовлетворяет условию $y > -x$, так как $-3 > 0$ — ложно. Таким образом, искомое геометрическое место точек — это круговой сегмент круга с центром в точке $(0; -3)$ и радиусом $3$, лежащий строго выше прямой $y = -x$. Граничная дуга окружности включается в множество, а хорда, соединяющая точки $(0; 0)$ и $(3; -3)$, и сами эти точки — не включаются. Ответ: часть круга $x^2 + (y + 3)^2 \leq 9$, расположенная выше прямой $y = -x$ (круговой сегмент без хорды). --- **3)** а) Запишем комплексное число $z = -1 + i\sqrt{3}$ в тригонометрической форме: Модуль: $$ r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 $$ Аргумент: $$ \cos \varphi = -\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \varphi = \frac{2\pi}{3} $$ $$ z = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3}\right) $$ Применим формулу Муавра: $$ z^{12} = 2^{12} \left(\cos\left(12 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(12 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 4096 (\cos(8\pi) + i \sin(8\pi)) $$ Так как $\cos(8\pi) = 1$, а $\sin(8\pi) = 0$: $$ z^{12} = 4096(1 + 0i) = 4096 $$ Ответ: $4096$. б) Найдем все значения корня $\sqrt[3]{27i}$. Представим подкоренное число $z = 27i$ в тригонометрической форме: $$ |z| = 27, \quad \arg z = \frac{\pi}{2} $$ $$ 27i = 27 \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right) $$ Значения корня находятся по формуле: $$ w_k = \sqrt[3]{27} \left(\cos \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} + i \sin \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2 $$ При $k = 0$: $$ w_0 = 3 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right) = 3 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i $$ При $k = 1$: $$ w_1 = 3 \left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right) = 3 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i $$ При $k = 2$: $$ w_2 = 3 \left(\cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2}\right) = 3(0 - i) = -3i $$ Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$; $-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2}i$; $-3i$. --- **4)** а) Решим уравнение: $$ |z+1| + i|z| = 4\sqrt{2} + 5i $$ Так как модули $|z+1|$ и $|z|$ являются действительными числами, приравняем действительные и мнимые части: $$ \begin{cases} |z+1| = 4\sqrt{2}, \\ |z| = 5 \end{cases} $$ Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда $|z|^2 = x^2 + y^2$ и $|z+1|^2 = (x+1)^2 + y^2$: $$ \begin{cases} (x+1)^2 + y^2 = 32, \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $$ (x+1)^2 - x^2 = 32 - 25 $$ $$ 2x + 1 = 7 \implies 2x = 6 \implies x = 3 $$ Подставим $x = 3$ во второе уравнение: $$ 3^2 + y^2 = 25 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4 $$ Получаем два корня: $z_1 = 3 + 4i$, $z_2 = 3 - 4i$. Ответ: $3 \pm 4i$. б) Решим квадратное уравнение: $$ z^2 + 2iz - 5 = 0 $$ Выделим полный квадрат: $$ (z^2 + 2iz + i^2) - i^2 - 5 = 0 $$ $$ (z + i)^2 - (-1) - 5 = 0 $$ $$ (z + i)^2 - 4 = 0 \implies (z + i)^2 = 4 $$ Отсюда: $$ z + i = 2 \quad \text{или} \quad z + i = -2 $$ $$ z_1 = 2 - i, \quad z_2 = -2 - i $$ Ответ: $2 - i$; $-2 - i$. --- **5)** Даны числа $z_1 = -1 + i\sqrt{3}$ и $z_2 = -\sqrt{3} + i$. Найдем аргументы этих чисел: 1. Для $z_1$: $$ |z_1| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2 $$ $$ \cos \varphi_1 = -\frac{1}{2}, \quad \sin \varphi_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \arg z_1 = \frac{2\pi}{3} $$ 2. Для $z_2$: $$ |z_2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2 $$ $$ \cos \varphi_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi_2 = \frac{1}{2} \implies \arg z_2 = \frac{5\pi}{6} $$ Угол $z_1Oz_2$ образован лучами, исходящими из начала координат под углами $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{5\pi}{6}$. Биссектриса этого угла является лучом, исходящим из начала координат, аргумент точек которого равен среднему арифметическому аргументов: $$ \varphi = \frac{\frac{2\pi}{3} + \frac{5\pi}{6}}{2} = \frac{\frac{9\pi}{6}}{2} = \frac{3\pi}{4} $$ Следовательно, геометрическое место точек, лежащих на биссектрисе угла $z_1Oz_2$, задается равенством: $$ \arg z = \frac{3\pi}{4} $$ *(В декартовых координатах данному лучу соответствует прямая $y = -x$ при условии $x < 0$).* Ответ: $\arg z = \frac{3\pi}{4}$.