ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-11. вариант - А2

### 1. Выполните действия: **Вариант А1** а) $2i(3 + i) - 6i^5$ Учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$, раскроем скобки: $$ 2i(3 + i) - 6i^5 = 6i + 2i^2 - 6i = 6i + 2(-1) - 6i = -2 $$ Ответ: $-2$. б) $\frac{-1 - i}{1 - i}$ Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + i)$: $$ \frac{-1 - i}{1 - i} = \frac{(-1 - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-(1 + i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{-(1 + 2i + i^2)}{1 - (-1)} = \frac{-(1 + 2i - 1)}{2} = \frac{-2i}{2} = -i $$ Ответ: $-i$. --- **Вариант А2** а) $3i(i - 4) - 12i^7$ Так как $i^2 = -1$ и $i^7 = i^4 \cdot i^2 \cdot i = 1 \cdot (-1) \cdot i = -i$, выполним преобразования: $$ 3i(i - 4) - 12i^7 = 3i^2 - 12i - 12(-i) = 3(-1) - 12i + 12i = -3 $$ Ответ: $-3$. б) $\frac{3 - 3i}{1 + i}$ Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 - i)$: $$ \frac{3 - 3i}{1 + i} = \frac{(3 - 3i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{3(1 - i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{3(1 - 2i + i^2)}{1 - (-1)} = \frac{3(1 - 2i - 1)}{2} = \frac{-6i}{2} = -3i $$ Ответ: $-3i$. --- ### 2. Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям: **Вариант А1** $$ \begin{cases} \text{Re } z > 1, \\ |z| \leq 3. \end{cases} $$ Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда $\text{Re } z = x$, а $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Запишем систему в координатной форме: $$ \begin{cases} x > 1, \\ x^2 + y^2 \leq 9. \end{cases} $$ - Неравенство $x^2 + y^2 \leq 9$ задает круг радиуса $R = 3$ с центром в начале координат $(0; 0)$, включая его границу (окружность). - Неравенство $x > 1$ задает открытую полуплоскость, лежащую строго правее вертикальной прямой $x = 1$ (сама прямая не включается в множество). Ответ: множеством точек является часть круга с центром $(0; 0)$ и радиусом $3$, лежащая строго правее прямой $x = 1$ (сегмент круга с дугой границы, но без граничного отрезка на прямой $x = 1$). --- **Вариант А2** $$ \begin{cases} \text{Im } z < 1, \\ |z| \geq 2. \end{cases} $$ Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда $\text{Im } z = y$, а $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Запишем систему: $$ \begin{cases} y < 1, \\ x^2 + y^2 \geq 4. \end{cases} $$ - Неравенство $x^2 + y^2 \geq 4$ задает внешнюю часть круга радиуса $R = 2$ с центром в точке $(0; 0)$, включая граничную окружность $x^2 + y^2 = 4$. - Неравенство $y < 1$ задает открытую полуплоскость, расположенную строго ниже горизонтальной прямой $y = 1$ (сама прямая не включается). Ответ: множеством точек является область комплексной плоскости, расположенная строго ниже прямой $y = 1$ и не принадлежащая внутренности круга радиуса $2$ с центром $(0; 0)$ (точки граничной окружности, лежащие ниже прямой $y = 1$, принадлежат множеству). --- ### 3. Вычислите: **Вариант А1** а) $(2 + 2i)^4$ Преобразуем выражение, возведя сначала во вторую степень: $$ (2 + 2i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 2i + (2i)^2 = 4 + 8i - 4 = 8i $$ Теперь возведем полученный результат в квадрат: $$ (2 + 2i)^4 = ((2 + 2i)^2)^2 = (8i)^2 = 64i^2 = -64 $$ Ответ: $-64$. б) $\sqrt{-16}$ Во множестве комплексных чисел: $$ \sqrt{-16} = \pm \sqrt{16} \cdot i = \pm 4i $$ Ответ: $\pm 4i$. --- **Вариант А2** а) $(\sqrt{3} + i)^3$ Применим формулу куба суммы $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$: $$ (\sqrt{3} + i)^3 = (\sqrt{3})^3 + 3(\sqrt{3})^2 \cdot i + 3\sqrt{3} \cdot i^2 + i^3 $$ Так как $(\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}$, $i^2 = -1$ и $i^3 = -i$, получаем: $$ (\sqrt{3} + i)^3 = 3\sqrt{3} + 9i - 3\sqrt{3} - i = 8i $$ Ответ: $8i$. б) $\sqrt{-25}$ Во множестве комплексных чисел: $$ \sqrt{-25} = \pm \sqrt{25} \cdot i = \pm 5i $$ Ответ: $\pm 5i$. --- ### 4. Решите уравнение: **Вариант А1** а) $z + iz = 1 + 7i$ Вынесем $z$ за скобки в левой части уравнения: $$ z(1 + i) = 1 + 7i $$ $$ z = \frac{1 + 7i}{1 + i} $$ Умножим числитель и знаменатель на $(1 - i)$: $$ z = \frac{(1 + 7i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i + 7i - 7i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 6i + 7}{1 - (-1)} = \frac{8 + 6i}{2} = 4 + 3i $$ Ответ: $z = 4 + 3i$. б) $z^2 + 4z + 13 = 0$ Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 $$ Так как $D < 0$, корнями являются комплексно-сопряженные числа: $$ \sqrt{D} = \pm 6i $$ $$ z_{1, 2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i $$ Ответ: $z_1 = -2 + 3i$, $z_2 = -2 - 3i$. --- **Вариант А2** а) $z - iz = 8 + 2i$ Вынесем $z$ за скобки: $$ z(1 - i) = 8 + 2i $$ $$ z = \frac{8 + 2i}{1 - i} $$ Умножим числитель и знаменатель на $(1 + i)$: $$ z = \frac{(8 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{8 + 8i + 2i + 2i^2}{1^2 - i^2} = \frac{8 + 10i - 2}{1 - (-1)} = \frac{6 + 10i}{2} = 3 + 5i $$ Ответ: $z = 3 + 5i$. б) $z^2 - 2z + 10 = 0$ Найдем дискриминант уравнения: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36 $$ $$ \sqrt{D} = \pm 6i $$ Корни уравнения: $$ z_{1, 2} = \frac{2 \pm 6i}{2} = 1 \pm 3i $$ Ответ: $z_1 = 1 + 3i$, $z_2 = 1 - 3i$. --- ### 5. Найдите значение $a$, при котором числа являются сопряженными: **Вариант А1** Числа $a^2 + 1 + 6i$ и $5 - 3ai$ Комплексные числа $z_1$ и $z_2$ сопряжены тогда и только тогда, когда их действительные части равны, а мнимые части противоположны по знаку: $$ \begin{cases} \text{Re } z_1 = \text{Re } z_2, \\ \text{Im } z_1 = -\text{Im } z_2. \end{cases} $$ Составим систему для $z_1 = (a^2 + 1) + 6i$ и $z_2 = 5 + (-3a)i$: $$ \begin{cases} a^2 + 1 = 5, \\ 6 = -(-3a). \end{cases} $$ Из второго уравнения: $$ 3a = 6 \implies a = 2 $$ Подставим $a = 2$ в первое уравнение для проверки: $$ 2^2 + 1 = 5 \implies 5 = 5 \quad \text{(верно)} $$ Ответ: $a = 2$. --- **Вариант А2** Числа $a^2 - 3 - 4i$ и $-2 + 4ai$ Числа $z_1 = (a^2 - 3) - 4i$ и $z_2 = -2 + 4ai$ сопряжены, если равны их действительные части, а мнимые части противоположны: $$ \begin{cases} a^2 - 3 = -2, \\ -4 = -(4a). \end{cases} $$ Из второго уравнения: $$ 4a = 4 \implies a = 1 $$ Подставим $a = 1$ в первое уравнение: $$ 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2 \quad \text{(верно)} $$ При $a = 1$ получаем числа $-2 - 4i$ и $-2 + 4i$, которые действительно являются взаимно сопряженными. Ответ: $a = 1$.