ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-11. вариант - А1

### 1 **а)** Выполним действия: $$ 2i(3 + i) - 6i^5 $$ Учитывая, что $i^2 = -1$ и $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$, раскроем скобки: $$ 2i(3 + i) - 6i^5 = 6i + 2i^2 - 6i = 6i + 2(-1) - 6i = -2 $$ **Ответ:** $-2$ **б)** Выполним деление комплексных чисел: $$ \frac{-1 - i}{1 - i} $$ Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, то есть на $(1 + i)$: $$ \frac{-1 - i}{1 - i} = \frac{(-1 - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{-(1 + i)^2}{1^2 - i^2} = \frac{-(1 + 2i + i^2)}{1 - (-1)} $$ Так как $i^2 = -1$: $$ \frac{-(1 + 2i - 1)}{2} = \frac{-2i}{2} = -i $$ **Ответ:** $-i$ --- ### 2 Пусть комплексное число имеет вид $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Тогда: - $\operatorname{Re} z = x$; - $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Исходная система принимает вид: $$ \begin{cases} x > 1, \\ x^2 + y^2 \leq 9. \end{cases} $$ Геометрическая интерпретация: 1. Неравенство $x^2 + y^2 \leq 9$ задает круг с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = 3$, включая граничную окружность. 2. Неравенство $x > 1$ задает открытую полуплоскость, расположенную строго правее вертикальной прямой $x = 1$. **Ответ:** Множество точек представляет собой сегмент круга радиуса $3$ с центром в начале координат, расположенный правее прямой $x = 1$. Граничная дуга окружности $x^2 + y^2 = 9$ (при $x > 1$) принадлежит множеству, а отрезок прямой $x = 1$ (при $-\sqrt{8} \leq y \leq \sqrt{8}$) в данное множество не входит (пунктирная граница). --- ### 3 **а)** Вычислим $(2 + 2i)^4$: Вынесем общий множитель $2$ за скобки: $$ (2 + 2i)^4 = (2(1 + i))^4 = 2^4 \cdot (1 + i)^4 = 16 \cdot \left((1 + i)^2\right)^2 $$ Вычислим $(1 + i)^2$: $$ (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i $$ Тогда: $$ 16 \cdot (2i)^2 = 16 \cdot 4i^2 = 16 \cdot 4(-1) = -64 $$ **Ответ:** $-64$ **б)** Вычислим $\sqrt{-16}$: В поле комплексных чисел квадратные корни из отрицательного числа находятся из соотношения $z^2 = -16$: $$ z^2 = 16i^2 \implies z = \pm 4i $$ **Ответ:** $\pm 4i$ --- ### 4 **а)** Решим уравнение: $$ z + iz = 1 + 7i $$ Вынесем $z$ за скобки в левой части: $$ z(1 + i) = 1 + 7i $$ Выразим $z$: $$ z = \frac{1 + 7i}{1 + i} $$ Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число $(1 - i)$: $$ z = \frac{(1 + 7i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 - i + 7i - 7i^2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 6i - 7(-1)}{1 - (-1)} = \frac{8 + 6i}{2} = 4 + 3i $$ **Ответ:** $z = 4 + 3i$ **б)** Решим квадратное уравнение: $$ z^2 + 4z + 13 = 0 $$ Найдем дискриминант: $$ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 = 36i^2 $$ Корни уравнения: $$ z_{1, 2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36i^2}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i $$ **Ответ:** $z_1 = -2 + 3i$, $z_2 = -2 - 3i$ --- ### 5 Числа $z_1 = a^2 + 1 + 6i$ и $z_2 = 5 - 3ai$ являются комплексно-сопряженными тогда и только тогда, когда их действительные части равны, а мнимые части противоположны по знаку: $$ \begin{cases} \operatorname{Re} z_1 = \operatorname{Re} z_2, \\ \operatorname{Im} z_1 = -\operatorname{Im} z_2. \end{cases} $$ Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} a^2 + 1 = 5, \\ 6 = -(-3a). \end{cases} $$ Решим второе уравнение: $$ 3a = 6 \implies a = 2 $$ Подставим найденное значение $a = 2$ в первое уравнение для проверки: $$ 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 $$ Равенство $5 = 5$ верно. При $a = 2$ числа принимают вид $z_1 = 5 + 6i$ и $z_2 = 5 - 6i$, то есть являются взаимно сопряженными. **Ответ:** $a = 2$