ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-10. вариант - А1

### 1 **а)** Найдем производную функции $f(x) = e^x + x^{2,5}$. Используем правила дифференцирования суммы, показательной функции $(e^x)' = e^x$ и степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$: $$ f'(x) = (e^x)' + (x^{2,5})' = e^x + 2,5x^{2,5 - 1} = e^x + 2,5x^{1,5} $$ Ответ: $f'(x) = e^x + 2,5x^{1,5}$ (или $e^x + 2,5x\sqrt{x}$). **б)** Найдем производную функции $f(x) = \ln(x^2 + 1) - 4^x$. Используем правило дифференцирования сложной логарифмической функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ и показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$: $$ f'(x) = (\ln(x^2 + 1))' - (4^x)' = \frac{(x^2 + 1)'}{x^2 + 1} - 4^x \ln 4 = \frac{2x}{x^2 + 1} - 4^x \ln 4 $$ Ответ: $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - 4^x \ln 4$. --- ### 2 Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = e^{x^2 - 2x}$ на отрезке $[0; 2]$. 1. Функция непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $[0; 2]$. 2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = (e^{x^2 - 2x})' = e^{x^2 - 2x} \cdot (x^2 - 2x)' = (2x - 2)e^{x^2 - 2x} $$ 3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ (2x - 2)e^{x^2 - 2x} = 0 $$ Так как $e^{x^2 - 2x} > 0$ при любых $x \in \mathbb{R}$, то: $$ 2x - 2 = 0 \implies x = 1 $$ Точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[0; 2]$. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке: - в точке $x = 0$: $f(0) = e^{0^2 - 2 \cdot 0} = e^0 = 1$; - в точке $x = 1$: $f(1) = e^{1^2 - 2 \cdot 1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$; - в точке $x = 2$: $f(2) = e^{2^2 - 2 \cdot 2} = e^{4 - 4} = e^0 = 1$. 5. Сравним полученные значения: Так как $e \approx 2,7$, то $\frac{1}{e} < 1$. Следовательно: - наибольшее значение функции равно $1$; - наименьшее значение функции равно $\frac{1}{e}$. Ответ: $\max_{[0; 2]} f(x) = 1$, $\min_{[0; 2]} f(x) = \frac{1}{e}$. --- ### 3 Для функции $f(x) = \frac{3}{x + 2}$ найдем первообразную, график которой проходит через точку $A(-3; 1)$. 1. Общий вид первообразных для функции $f(x)$ имеет вид: $$ F(x) = \int \frac{3}{x + 2} \, dx = 3\ln|x + 2| + C $$ 2. График искомой первообразной проходит через точку $A(-3; 1)$, следовательно, $F(-3) = 1$. Подставим координаты точки $A$: $$ 3\ln|-3 + 2| + C = 1 $$ $$ 3\ln|-1| + C = 1 $$ $$ 3\ln 1 + C = 1 $$ Так как $\ln 1 = 0$, получаем: $$ 3 \cdot 0 + C = 1 \implies C = 1 $$ 3. Запишем формулу искомой первообразной: $$ F(x) = 3\ln|x + 2| + 1 $$ Ответ: $F(x) = 3\ln|x + 2| + 1$. --- ### 4 Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = \sqrt{x}$, $y = 1$, $x = 9$. 1. Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$: $$ \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 $$ 2. На отрезке $[1; 9]$ график функции $y = \sqrt{x}$ лежит выше прямой $y = 1$ (так как $\sqrt{x} \ge 1$ при $x \ge 1$). 3. Вычислим площадь фигуры $S$ с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_{1}^{9} (\sqrt{x} - 1) \, dx = \int_{1}^{9} \left(x^{\frac{1}{2}} - 1\right) dx $$ $$ S = \left. \left( \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - x \right) \right|_{1}^{9} = \left. \left( \frac{2}{3}x\sqrt{x} - x \right) \right|_{1}^{9} $$ 4. Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона — Лейбница: $$ S = \left( \frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} - 9 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} - 1 \right) $$ $$ S = \left( \frac{2}{3} \cdot 27 - 9 \right) - \left( \frac{2}{3} - 1 \right) = (18 - 9) - \left(-\frac{1}{3}\right) = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3} = 9\frac{1}{3} $$ Ответ: $S = 9\frac{1}{3}$. --- ### 5 Для функции $g(x) = e^{2x} + \frac{1}{2x + 1}$ найдем первообразную $G(x)$, которая в точке $x_0 = 0$ принимает такое же значение, как и производная $g'(x)$ в этой точке. 1. Найдем производную функции $g(x)$: $$ g'(x) = \left(e^{2x} + (2x + 1)^{-1}\right)' = 2e^{2x} - (2x + 1)^{-2} \cdot 2 = 2e^{2x} - \frac{2}{(2x + 1)^2} $$ 2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ g'(0) = 2e^0 - \frac{2}{(2 \cdot 0 + 1)^2} = 2 \cdot 1 - \frac{2}{1} = 2 - 2 = 0 $$ 3. Найдем семейство первообразных $G(x)$ для функции $g(x)$: $$ G(x) = \int \left( e^{2x} + \frac{1}{2x + 1} \right) dx = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}\ln|2x + 1| + C $$ 4. По условию значение первообразной в точке $x_0 = 0$ должно быть равно производной $g'(0)$, то есть $G(0) = 0$: $$ G(0) = \frac{1}{2}e^0 + \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 0 + 1| + C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2}\ln 1 + C = \frac{1}{2} + 0 + C = \frac{1}{2} + C $$ Приравняем к нулю: $$ \frac{1}{2} + C = 0 \implies C = -\frac{1}{2} $$ 5. Запишем искомую первообразную: $$ G(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}\ln|2x + 1| - \frac{1}{2} $$ Ответ: $G(x) = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}\ln|2x + 1| - \frac{1}{2}$.