ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-10. вариант - Б1

### Задание 1 Найдем производные функций, используя правила дифференцирования сложной функции, суммы, а также табличные производные. **а)** $f(x) = e^{x^2-1} + \log_3 x$ $$ f'(x) = \left(e^{x^2-1}\right)' + (\log_3 x)' $$ Производная экспоненты от сложного аргумента равна $\left(e^u\right)' = e^u \cdot u'$, а логарифма — $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$: $$ f'(x) = e^{x^2-1} \cdot (x^2 - 1)' + \frac{1}{x \ln 3} = 2x e^{x^2-1} + \frac{1}{x \ln 3} $$ Ответ: $f'(x) = 2x e^{x^2-1} + \frac{1}{x \ln 3}$. --- **b)** $f(x) = \log_2 x - e^{4-x^3}$ $$ f'(x) = (\log_2 x)' - \left(e^{4-x^3}\right)' $$ $$ f'(x) = \frac{1}{x \ln 2} - e^{4-x^3} \cdot (4 - x^3)' = \frac{1}{x \ln 2} - e^{4-x^3} \cdot (-3x^2) = \frac{1}{x \ln 2} + 3x^2 e^{4-x^3} $$ Ответ: $f'(x) = \frac{1}{x \ln 2} + 3x^2 e^{4-x^3}$. --- **c)** $f(x) = x^{\ln 2e} - \ln \frac{1}{x}$ Упростим выражение функции перед дифференцированием: 1. Выражение $\ln 2e$ является константой, поэтому $x^{\ln 2e}$ — степенная функция вида $x^\alpha$, где $\alpha = \ln 2e$. 2. По свойствам логарифма: $-\ln \frac{1}{x} = -\ln(x^{-1}) = -(-1)\ln x = \ln x$. Тогда функция принимает вид: $$ f(x) = x^{\ln 2e} + \ln x $$ Найдем ее производную: $$ f'(x) = (\ln 2e) \cdot x^{\ln 2e - 1} + \frac{1}{x} $$ Ответ: $f'(x) = (\ln 2e) x^{\ln 2e - 1} + \frac{1}{x}$. --- ### Задание 2 Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. **1.** $f(x) = x^2 e^{2x}, \quad [-2; 1]$ 1. Найдем производную функции по правилу дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ f'(x) = (x^2)' \cdot e^{2x} + x^2 \cdot (e^{2x})' = 2x e^{2x} + x^2 \cdot 2e^{2x} = 2x(1 + x)e^{2x} $$ 2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ 2x(x + 1)e^{2x} = 0 $$ Так как $e^{2x} > 0$ при любых $x$, получаем: $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x = -1 $$ Обе точки $x = -1$ и $x = 0$ принадлежат отрезку $[-2; 1]$. 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: - $f(-2) = (-2)^2 \cdot e^{2 \cdot (-2)} = 4e^{-4} = \frac{4}{e^4}$; - $f(-1) = (-1)^2 \cdot e^{2 \cdot (-1)} = 1 \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2}$; - $f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0$; - $f(1) = 1^2 \cdot e^{2 \cdot 1} = e^2$. 4. Сравним полученные значения: - Так как все значения, кроме $f(0)$, строго положительны, наименьшее значение равно $0$. - Сравним положительные числа: $\frac{4}{e^4} < \frac{1}{e^2} < e^2$, следовательно, наибольшее значение равно $e^2$. Ответ: $\max_{[-2; 1]} f(x) = f(1) = e^2$; $\min_{[-2; 1]} f(x) = f(0) = 0$. --- **2.** $f(x) = \frac{x^2}{e^{2x}}, \quad [-1; 2]$ Запишем функцию в виде $f(x) = x^2 e^{-2x}$. 1. Найдем производную: $$ f'(x) = 2x e^{-2x} + x^2 \cdot (-2e^{-2x}) = 2x(1 - x)e^{-2x} $$ 2. Приравняем производную к нулю: $$ 2x(1 - x)e^{-2x} = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1 $$ Точки $x = 0$ и $x = 1$ принадлежат отрезку $[-1; 2]$. 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка: - $f(-1) = (-1)^2 \cdot e^{-2(-1)} = e^2$; - $f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0$; - $f(1) = 1^2 \cdot e^{-2} = \frac{1}{e^2}$; - $f(2) = 2^2 \cdot e^{-4} = \frac{4}{e^4}$. 4. Сравним значения: - Наименьшее значение: $f(0) = 0$. - Наибольшее значение: $f(-1) = e^2$. Ответ: $\max_{[-1; 2]} f(x) = f(-1) = e^2$; $\min_{[-1; 2]} f(x) = f(0) = 0$. --- ### Задание 3 Найдем первообразную, график которой пересекает ось $Ox$ в точке с абсциссой $1$ (то есть $F(1) = 0$). **1.** $f(x) = 2x - \frac{2}{4x - 5}$ 1. Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \int \left(2x - \frac{2}{4x - 5}\right) dx = x^2 - 2 \cdot \frac{1}{4}\ln|4x - 5| + C = x^2 - \frac{1}{2}\ln|4x - 5| + C $$ 2. Используем условие $F(1) = 0$: $$ 1^2 - \frac{1}{2}\ln|4 \cdot 1 - 5| + C = 0 $$ $$ 1 - \frac{1}{2}\ln|-1| + C = 0 \implies 1 - 0 + C = 0 \implies C = -1 $$ Ответ: $F(x) = x^2 - \frac{1}{2}\ln|4x - 5| - 1$. --- **2.** $f(x) = 3x^2 + \frac{6}{3x - 1}$ 1. Найдем общий вид первообразных: $$ F(x) = \int \left(3x^2 + \frac{6}{3x - 1}\right) dx = x^3 + 6 \cdot \frac{1}{3}\ln|3x - 1| + C = x^3 + 2\ln|3x - 1| + C $$ 2. Используем условие $F(1) = 0$: $$ 1^3 + 2\ln|3 \cdot 1 - 1| + C = 0 $$ $$ 1 + 2\ln 2 + C = 0 \implies C = -1 - 2\ln 2 $$ Ответ: $F(x) = x^3 + 2\ln|3x - 1| - 1 - 2\ln 2$. --- ### Задание 4 Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{2x}$ и $y = x$. 1. Найдем пределы интегрирования из условия пересечения линий ($x \ge 0$): $$ \sqrt{2x} = x \implies 2x = x^2 \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 $$ Границы фигуры: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. 2. На промежутке $(0; 2)$ график функции $y = \sqrt{2x}$ расположен выше графика $y = x$ (например, при $x = 1$: $\sqrt{2} > 1$). 3. Вычислим площадь с помощью определенного интеграла: $$ S = \int_0^2 (\sqrt{2x} - x)\,dx = \int_0^2 \left(\sqrt{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x\right) dx $$ $$ S = \left[ \sqrt{2} \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \left[ \frac{2\sqrt{2}}{3} x\sqrt{x} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 $$ Подставим верхний и нижний пределы: $$ S = \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 2\sqrt{2} - \frac{2^2}{2} \right) - 0 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} $$ Ответ: $S = \frac{2}{3}$. --- ### Задание 5 Найдем первообразную $G(x)$, график которой пересекается с графиком производной $g'(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, то есть выполняется равенство $G(x_0) = g'(x_0)$. **1.** $g(x) = (3x - 2)^{\frac{1}{3}}, \quad x_0 = 1$ 1. Найдем общий вид первообразной: $$ G(x) = \int (3x - 2)^{\frac{1}{3}} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 2)^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 2)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{4}(3x - 2)^{\frac{4}{3}} + C $$ 2. Найдем производную функции $g(x)$: $$ g'(x) = \left((3x - 2)^{\frac{1}{3}}\right)' = \frac{1}{3}(3x - 2)^{-\frac{2}{3}} \cdot (3x - 2)' = \frac{1}{3}(3x - 2)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 = (3x - 2)^{-\frac{2}{3}} $$ 3. Вычислим значения в точке $x_0 = 1$: $$ g'(1) = (3 \cdot 1 - 2)^{-\frac{2}{3}} = 1^{-\frac{2}{3}} = 1 $$ $$ G(1) = \frac{1}{4}(3 \cdot 1 - 2)^{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{4} \cdot 1 + C = \frac{1}{4} + C $$ 4. Так как $G(1) = g'(1)$: $$ \frac{1}{4} + C = 1 \implies C = \frac{3}{4} $$ Ответ: $G(x) = \frac{1}{4}(3x - 2)^{\frac{4}{3}} + \frac{3}{4}$. --- **2.** $g(x) = (4x + 5)^{\frac{1}{4}}, \quad x_0 = -1$ 1. Найдем общий вид первообразной: $$ G(x) = \int (4x + 5)^{\frac{1}{4}} dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4x + 5)^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{1}{5}(4x + 5)^{\frac{5}{4}} + C $$ 2. Найдем производную функции $g(x)$: $$ g'(x) = \left((4x + 5)^{\frac{1}{4}}\right)' = \frac{1}{4}(4x + 5)^{-\frac{3}{4}} \cdot (4x + 5)' = \frac{1}{4}(4x + 5)^{-\frac{3}{4}} \cdot 4 = (4x + 5)^{-\frac{3}{4}} $$ 3. Вычислим значения в точке $x_0 = -1$: $$ g'(-1) = (4(-1) + 5)^{-\frac{3}{4}} = 1^{-\frac{3}{4}} = 1 $$ $$ G(-1) = \frac{1}{5}(4(-1) + 5)^{\frac{5}{4}} + C = \frac{1}{5} \cdot 1 + C = \frac{1}{5} + C $$ 4. Так как $G(-1) = g'(-1)$: $$ \frac{1}{5} + C = 1 \implies C = \frac{4}{5} $$ Ответ: $G(x) = \frac{1}{5}(4x + 5)^{\frac{5}{4}} + \frac{4}{5}$.