ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-9. вариант - В1

### 1. Вычисление интегралов **а)** $\int (x-1)(x+1)(x+2)\,dx$ Раскроем скобки в подынтегральном выражении: $(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ $(x^2 - 1)(x + 2) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ Интегрируем почленно: $$\int (x^3 + 2x^2 - x - 2)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + C$$ **Ответ:** $\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + C$ --- **б)** $\int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x}\,dx$ Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$: $$\frac{\cos 2x}{\sin^2 x} = \frac{1 - 2\sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} - 2$$ Интегрируем табличные функции: $$\int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - 2 \right) dx = -\operatorname{ctg} x - 2x + C$$ **Ответ:** $-\operatorname{ctg} x - 2x + C$ --- ### 2. Нахождение первообразной по заданным свойствам **а)** График первообразной имеет только одну общую точку с прямой $y$. * **Для $f(x) = 4x + 8$ и прямой $y = 3$ (Вариант В1):** Найдем общий вид первообразных: $$F(x) = \int (4x + 8)\,dx = 2x^2 + 8x + C$$ График $F(x)$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Прямая $y = 3$ горизонтальна, следовательно, график имеет с ней ровно одну общую точку тогда и только тогда, когда эта прямая касается параболы в ее вершине. Координата вершины параболы: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$$ Значение функции в вершине должно быть равно $3$: $$F(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + C = 3$$ $$8 - 16 + C = 3$$ $$-8 + C = 3 \implies C = 11$$ Искомая первообразная: $$F(x) = 2x^2 + 8x + 11$$ * *(Для случая $f(x) = 3 - x$ и прямой $y = 7$):* $$F(x) = \int (3 - x)\,dx = 3x - \frac{x^2}{2} + C$$ Вершина параболы: $x_0 = -\frac{3}{2 \cdot (-0,5)} = 3$. $$F(3) = 3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2} + C = 7 \implies 4,5 + C = 7 \implies C = 2,5$$ $$F(x) = -\frac{x^2}{2} + 3x + 2,5$$ --- **б)** График функции $f(x)$ проходит через точку, если $f'(x) = \frac{16}{x^3}$. Найдем общий вид функции $f(x)$: $$f(x) = \int \frac{16}{x^3}\,dx = 16 \int x^{-3}\,dx = 16 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{8}{x^2} + C$$ * **Для точки $A(1; 10)$ (Вариант В1):** Подставим координаты точки $A$: $$f(1) = 10 \implies -\frac{8}{1^2} + C = 10 \implies -8 + C = 10 \implies C = 18$$ Искомая функция: $$f(x) = -\frac{8}{x^2} + 18$$ * *(Для точки $B(4; -2)$):* $$f(4) = -2 \implies -\frac{8}{4^2} + C = -2 \implies -0,5 + C = -2 \implies C = -1,5$$ $$f(x) = -\frac{8}{x^2} - 1,5$$ **Ответ:** а) $F(x) = 2x^2 + 8x + 11$; б) $f(x) = -\frac{8}{x^2} + 18$. --- ### 3. Вычисление определенных интегралов **a)** $\int_{0}^{1} \frac{9 - 4x^2 + \sqrt{3 - 2x}}{3 - 2x}\,dx$ Разложим разность квадратов в числителе: $9 - 4x^2 = (3 - 2x)(3 + 2x)$. Поделим числитель почленно на знаменатель $(3 - 2x)$: $$\frac{(3 - 2x)(3 + 2x) + \sqrt{3 - 2x}}{3 - 2x} = 3 + 2x + \frac{1}{\sqrt{3 - 2x}} = 3 + 2x + (3 - 2x)^{-\frac{1}{2}}$$ Найдем первообразную: $$\int (3 + 2x)\,dx = 3x + x^2$$ $$\int (3 - 2x)^{-\frac{1}{2}}\,dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(3 - 2x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3 - 2x}$$ $$F(x) = 3x + x^2 - \sqrt{3 - 2x}$$ По формуле Ньютона-Лейбница: $$F(1) = 3 \cdot 1 + 1^2 - \sqrt{3 - 2 \cdot 1} = 3 + 1 - 1 = 3$$ $$F(0) = 3 \cdot 0 + 0^2 - \sqrt{3 - 2 \cdot 0} = -\sqrt{3}$$ $$\int_{0}^{1} \frac{9 - 4x^2 + \sqrt{3 - 2x}}{3 - 2x}\,dx = F(1) - F(0) = 3 - (-\sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3}$$ **Ответ:** $3 + \sqrt{3}$ --- **b)** $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \left( \frac{1}{3} \cos \frac{x}{3} - 2 \sin 2x \right) dx$ Найдем первообразную для каждого слагаемого: $$\int \frac{1}{3} \cos \frac{x}{3}\,dx = \frac{1}{3} \cdot 3 \sin \frac{x}{3} = \sin \frac{x}{3}$$ $$\int (-2 \sin 2x)\,dx = -2 \cdot \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) = \cos 2x$$ $$F(x) = \sin \frac{x}{3} + \cos 2x$$ Применим формулу Ньютона-Лейбница: $$F(\pi) = \sin \frac{\pi}{3} + \cos 2\pi = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$$ $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \sin \frac{\pi}{6} + \cos \pi = \frac{1}{2} + (-1) = -\frac{1}{2}$$ $$F(\pi) - F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$$ **Ответ:** $\frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ --- ### 4. Нахождение площади фигуры * **Для линий $y = \frac{4}{x^2}$ и $y = -3x + 7$ (Вариант В1):** 1. Найдем абсциссы точек пересечения графиков: $$\frac{4}{x^2} = -3x + 7 \quad (x \neq 0)$$ $$3x^3 - 7x^2 + 4 = 0$$ Заметим, что $x = 1$ является корнем ($3 - 7 + 4 = 0$). Разложим на множители: $$(x - 1)(3x^2 - 4x - 4) = 0$$ $$(x - 1)(x - 2)(3x + 2) = 0$$ Так как гипербола $y = \frac{4}{x^2}$ терпит разрыв при $x = 0$, замкнутая фигура лежит в области $x > 0$ на отрезке $[1; 2]$. На отрезке $[1; 2]$ прямая лежит выше гиперболы (например, при $x = 1,5$: $y_{\text{пр}} = 2,5$, а $y_{\text{гип}} = \frac{16}{9} \approx 1,78$). 2. Вычислим площадь: $$S = \int_{1}^{2} \left( -3x + 7 - \frac{4}{x^2} \right) dx = \left[ -\frac{3x^2}{2} + 7x + \frac{4}{x} \right]_{1}^{2}$$ $$S = \left( -\frac{3 \cdot 4}{2} + 7 \cdot 2 + \frac{4}{2} \right) - \left( -\frac{3 \cdot 1}{2} + 7 \cdot 1 + \frac{4}{1} \right)$$ $$S = (-6 + 14 + 2) - (-1,5 + 7 + 4) = 10 - 9,5 = 0,5$$ * *(Для линий $y = \frac{9}{x^2}$ и $y = -4x + 13$):* $$4x^3 - 13x^2 + 9 = 0 \implies (x - 1)(x - 3)(4x + 3) = 0$$ На отрезке $[1; 3]$: $$S = \int_{1}^{3} \left( -4x + 13 - \frac{9}{x^2} \right) dx = \left[ -2x^2 + 13x + \frac{9}{x} \right]_{1}^{3}$$ $$S = (-18 + 39 + 3) - (-2 + 13 + 9) = 24 - 20 = 4$$ **Ответ:** $0,5$ --- ### 5. Подбор функции $f(x)$ * **Для равенства $\int_{0}^{a} f(x)\,dx = 2a^2 - 3a$ (Вариант В1):** По формуле дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом: $$\frac{d}{da} \left( \int_{0}^{a} f(x)\,dx \right) = f(a)$$ Продифференцируем обе части заданного равенства по переменной $a$: $$f(a) = (2a^2 - 3a)'$$ $$f(a) = 4a - 3$$ Заменив переменную $a$ на $x$, получаем: $$f(x) = 4x - 3$$ *Проверка:* $$\int_{0}^{a} (4x - 3)\,dx = \left[ 2x^2 - 3x \right]_{0}^{a} = 2a^2 - 3a - 0 = 2a^2 - 3a$$ Равенство выполняется при любом значении $a$. * *(Для равенства $\int_{0}^{a} f(x)\,dx = 4a - a^2$):* $$f(a) = (4a - a^2)' = 4 - 2a \implies f(x) = 4 - 2x$$ **Ответ:** $f(x) = 4x - 3$