ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-1. вариант - Б1

### 1. Вычислите: **а)** $\frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}}{\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6}} - \sqrt{2} \cos \frac{3\pi}{4}$ Используем табличные значения тригонометрических функций и формулу приведения: * $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$; * $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$; * $\cos \frac{3\pi}{4} = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим эти значения в выражение: $$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 - \left(-\frac{2}{2}\right) = 1 + 1 = 2$$ Ответ: $2$. --- **б)** $\frac{\sin 50^\circ + \sin 10^\circ}{\cos 25^\circ \cos 5^\circ + \sin 25^\circ \sin 5^\circ}$ 1. Преобразуем числитель по формуле суммы синусов $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$: $$\sin 50^\circ + \sin 10^\circ = 2 \sin \frac{50^\circ + 10^\circ}{2} \cos \frac{50^\circ - 10^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 20^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos 20^\circ = \cos 20^\circ$$ 2. Преобразуем знаменатель по формуле косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$: $$\cos 25^\circ \cos 5^\circ + \sin 25^\circ \sin 5^\circ = \cos(25^\circ - 5^\circ) = \cos 20^\circ$$ 3. Найдём значение дроби: $$\frac{\cos 20^\circ}{\cos 20^\circ} = 1$$ Ответ: $1$. --- ### 2. Известно, что $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = 0,5$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Найдите $\sin(60^\circ - \alpha)$. 1. По формуле приведения: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$$ Следовательно, $\sin \alpha = 0,5 = \frac{1}{2}$. 2. Так как угол $\alpha$ принадлежит II четверти ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$), косинус в ней отрицателен: $$\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 3. Применим формулу синуса разности $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$: $$\sin(60^\circ - \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha - \cos 60^\circ \sin \alpha$$ Подставим найденные значения: $$\sin(60^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$$ *(Замечание: так как $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ во II четверти, угол $\alpha = 150^\circ$, откуда $\sin(60^\circ - 150^\circ) = \sin(-90^\circ) = -1$).* Ответ: $-1$. --- ### 3. Упростите выражение: **а)** $\left(\frac{\sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha}\right)^2 + \left(\frac{\cos \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha}\right)^2 - 2 \sin^2 \alpha$ Используем определения тангенса и котангенса ($\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$): $$\frac{\sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \cos \alpha$$ $$\frac{\cos \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \sin \alpha$$ Подставим полученные выражения: $$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha$$ Ответ: $\cos 2\alpha$. --- **б)** $\frac{\sin \alpha - \sin 3\alpha}{\cos \alpha - \cos 3\alpha} (1 - \cos 4\alpha)$ 1. Преобразуем числитель дроби по формуле разности синусов: $$\sin \alpha - \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{\alpha - 3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} = 2 \sin(-\alpha) \cos 2\alpha = -2 \sin \alpha \cos 2\alpha$$ 2. Преобразуем знаменатель дроби по формуле разности косинусов: $$\cos \alpha - \cos 3\alpha = -2 \sin \frac{\alpha + 3\alpha}{2} \sin \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = -2 \sin 2\alpha \sin(-\alpha) = 2 \sin 2\alpha \sin \alpha$$ 3. Сократим дробь: $$\frac{-2 \sin \alpha \cos 2\alpha}{2 \sin 2\alpha \sin \alpha} = -\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$$ 4. Преобразуем скобку по формуле понижения степени $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ (при $x = 2\alpha$): $$1 - \cos 4\alpha = 2 \sin^2 2\alpha$$ 5. Перемножим полученные выражения: $$-\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot 2 \sin^2 2\alpha = -2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha = -\sin 4\alpha$$ Ответ: $-\sin 4\alpha$. --- ### 4. Докажите тождество: $$\operatorname{tg} 2\alpha \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \sin 2\alpha$$ **Доказательство:** Распишем тангенс двойного угла по формуле $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}$: $$\operatorname{tg} 2\alpha \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha} \cdot \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}$$ Преобразуем полученную дробь через синус и косинус, учитывая, что $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$: $$\frac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1}{\cos^2 \alpha}} = \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$$ Получили: $\sin 2\alpha = \sin 2\alpha$. Тождество доказано. --- ### 5. Найдите значение $x$ и выразите его в радианах, если $90^\circ < x < 180^\circ$ и $\sin 57^\circ + \sin 41^\circ = 2 \sin x \cos 8^\circ$. 1. Преобразуем левую часть уравнения по формуле суммы синусов: $$\sin 57^\circ + \sin 41^\circ = 2 \sin \frac{57^\circ + 41^\circ}{2} \cos \frac{57^\circ - 41^\circ}{2} = 2 \sin 49^\circ \cos 8^\circ$$ 2. Подставим результат в исходное уравнение: $$2 \sin 49^\circ \cos 8^\circ = 2 \sin x \cos 8^\circ$$ Разделим обе части на $2 \cos 8^\circ$ (так как $\cos 8^\circ \neq 0$): $$\sin x = \sin 49^\circ$$ 3. По условию угол $x$ лежит во второй четверти ($90^\circ < x < 180^\circ$). Используя соотношение $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$: $$x = 180^\circ - 49^\circ = 131^\circ$$ 4. Переведём градусную меру в радианы: $$x = 131^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{131\pi}{180}$$ Ответ: $131^\circ = \frac{131\pi}{180}\text{ рад}$.