ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-1. вариант - А1

### 1 **а)** Вычислим значение выражения, используя табличные значения тригонометрических функций и формулу приведения: $$\sin \frac{2\pi}{3} = \sin \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$$ Подставим эти значения в исходное выражение: $$2 \sin \frac{2\pi}{3} - \operatorname{ctg} \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$$ Ответ: $0$. **б)** Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$: $$\sin 56^\circ \cos 34^\circ + \cos 56^\circ \sin 34^\circ = \sin(56^\circ + 34^\circ) = \sin 90^\circ = 1$$ Ответ: $1$. --- ### 2 По формуле приведения: $$\cos \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \alpha$$ Следовательно: $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Используем формулу косинуса двойного аргумента $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$: $$\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{2}{4} = 1 - 1 = 0$$ Ответ: $0$. --- ### 3 **а)** Воспользуемся тождеством $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$, откуда $\operatorname{tg}^2 \alpha - \frac{1}{\cos^2 \alpha} = -1$: $$\operatorname{tg}^2 \alpha + \sin^2 \alpha - \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \left(\operatorname{tg}^2 \alpha - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\right) + \sin^2 \alpha = -1 + \sin^2 \alpha = -(1 - \sin^2 \alpha) = -\cos^2 \alpha$$ Ответ: $-\cos^2 \alpha$. **б)** Преобразуем числитель дроби по формуле суммы косинусов $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$: $$\cos 3\alpha + \cos \alpha = 2 \cos \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha$$ Подставим полученное произведение в исходное выражение и сократим дробь на $2 \cos \alpha \neq 0$: $$\frac{2 \cos 2\alpha \cos \alpha}{2 \cos \alpha} + 2 \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha + 2 \sin^2 \alpha$$ Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$: $$(1 - 2\sin^2 \alpha) + 2\sin^2 \alpha = 1$$ Ответ: $1$. --- ### 4 Докажем тождество: $$1 - \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{\cos 2\alpha}{\cos^2 \alpha}$$ Преобразуем левую часть равенства, выразив тангенс через синус и косинус: $$1 - \operatorname{tg}^2 \alpha = 1 - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$ По формуле косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$: $$\frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{\cos^2 \alpha}$$ Получили выражение, совпадающее с правой частью тождества. Тождество доказано. --- ### 5 Преобразуем левую часть уравнения $\sin 32^\circ + \sin 28^\circ = 2 \sin x \cos 2^\circ$ по формуле суммы синусов: $$\sin 32^\circ + \sin 28^\circ = 2 \sin \frac{32^\circ + 28^\circ}{2} \cos \frac{32^\circ - 28^\circ}{2} = 2 \sin 30^\circ \cos 2^\circ$$ Подставим полученный результат в уравнение: $$2 \sin 30^\circ \cos 2^\circ = 2 \sin x \cos 2^\circ$$ Разделим обе части на $2 \cos 2^\circ \neq 0$: $$\sin x = \sin 30^\circ$$ Так как по условию $0^\circ < x < 90^\circ$, получаем: $$x = 30^\circ$$ Переведём градусную меру в радианы: $$x = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6}$$ Ответ: $x = \frac{\pi}{6}$ (или $30^\circ$).