ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-1. вариант - В1

### 1. Вычислите: **а)** $\frac{\text{tg } 67^\circ - \text{tg } 22^\circ}{1 + \text{tg } 67^\circ \text{tg } 22^\circ} + 4 \sin 105^\circ \cos 105^\circ$ 1. Применим формулу тангенса разности $\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg } \alpha - \text{tg } \beta}{1 + \text{tg } \alpha \text{tg } \beta}$: $$\frac{\text{tg } 67^\circ - \text{tg } 22^\circ}{1 + \text{tg } 67^\circ \text{tg } 22^\circ} = \text{tg}(67^\circ - 22^\circ) = \text{tg } 45^\circ = 1$$ 2. Во втором слагаемом применим формулу синуса двойного угла $2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$: $$4 \sin 105^\circ \cos 105^\circ = 2 \cdot (2 \sin 105^\circ \cos 105^\circ) = 2 \sin 210^\circ$$ По формуле приведения: $$\sin 210^\circ = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$$ Тогда: $$2 \sin 210^\circ = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$ 3. Сложим полученные значения: $$1 + (-1) = 0$$ Ответ: $0$. **б)** $\sqrt{\frac{1 + \cos 4}{2}} + \cos 2$ 1. По формуле половинного аргумента $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$: $$\sqrt{\frac{1 + \cos 4}{2}} = \sqrt{\cos^2 2} = |\cos 2|$$ 2. Угол в $2$ радиана лежит во II четверти ($\frac{\pi}{2} < 2 < \pi$, так как $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$, а $\pi \approx 3{,}14$). Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому $|\cos 2| = -\cos 2$. 3. Вычислим значение выражения: $$-\cos 2 + \cos 2 = 0$$ Ответ: $0$. --- ### 2. Вычислите: **а)** $\frac{\text{tg } 29^\circ + \text{tg } 16^\circ}{1 - \text{tg } 29^\circ \text{tg } 16^\circ} - 4 \sin 75^\circ \cos 75^\circ$ 1. Применим формулу тангенса суммы $\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg } \alpha + \text{tg } \beta}{1 - \text{tg } \alpha \text{tg } \beta}$: $$\frac{\text{tg } 29^\circ + \text{tg } 16^\circ}{1 - \text{tg } 29^\circ \text{tg } 16^\circ} = \text{tg}(29^\circ + 16^\circ) = \text{tg } 45^\circ = 1$$ 2. Во втором слагаемом воспользуемся формулой синуса двойного угла: $$4 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = 2 \cdot (2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ) = 2 \sin 150^\circ$$ По формуле приведения: $$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$ Тогда: $$2 \sin 150^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$ 3. Найдем разность: $$1 - 1 = 0$$ Ответ: $0$. **б)** $\sqrt{\frac{1 - \cos 8}{2}} + \sin 4$ 1. По формуле половинного аргумента $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$: $$\sqrt{\frac{1 - \cos 8}{2}} = \sqrt{\sin^2 4} = |\sin 4|$$ 2. Угол в $4$ радиана лежит в III четверти ($\pi < 4 < \frac{3\pi}{2}$, так как $\pi \approx 3{,}14$, а $\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$). В третьей четверти синус отрицателен, следовательно, $|\sin 4| = -\sin 4$. 3. Вычислим значение выражения: $$-\sin 4 + \sin 4 = 0$$ Ответ: $0$. --- ### 3. **1)** Известно, что $\sin 2\alpha = 0,8$ и $45^\circ < \alpha < 90^\circ$. Найдите $\text{tg} \alpha$. Так как $45^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $90^\circ < 2\alpha < 180^\circ$, то есть угол $2\alpha$ лежит во II четверти. Значит, $\cos 2\alpha < 0$: $$\cos 2\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 2\alpha} = -\sqrt{1 - 0,8^2} = -\sqrt{0,36} = -0,6$$ Воспользуемся формулой тангенса через функции двойного угла: $$\text{tg} \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$$ $$\text{tg} \alpha = \frac{1 - (-0,6)}{0,8} = \frac{1,6}{0,8} = 2$$ Ответ: $2$. **2)** Известно, что $\cos 2\alpha = 0,6$ и $135^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\text{ctg} \alpha$. Так как $135^\circ < \alpha < 180^\circ$, то $270^\circ < 2\alpha < 360^\circ$, то есть угол $2\alpha$ лежит в IV четверти. Значит, $\sin 2\alpha < 0$: $$\sin 2\alpha = -\sqrt{1 - \cos^2 2\alpha} = -\sqrt{1 - 0,6^2} = -\sqrt{0,36} = -0,8$$ Воспользуемся формулой котангенса через функции двойного угла: $$\text{ctg} \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$$ $$\text{ctg} \alpha = \frac{1 + 0,6}{-0,8} = \frac{1,6}{-0,8} = -2$$ Ответ: $-2$. --- ### 4. Упростите выражение: **а)** $\frac{4 \cos \alpha}{\text{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}$ Преобразуем знаменатель: $$\text{ctg}^2 \frac{\alpha}{2} - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}} - \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}$$ Разложим числитель полученной дроби по формуле разности квадратов, а знаменатель свернем по формуле синуса двойного угла: $$\cos^4 \frac{\alpha}{2} - \sin^4 \frac{\alpha}{2} = \left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right)\left(\cos^2 \frac{\alpha}{2} + \sin^2 \frac{\alpha}{2}\right) = \cos \alpha \cdot 1 = \cos \alpha$$ $$\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \left(\frac{1}{2} \sin \alpha\right)^2 = \frac{1}{4} \sin^2 \alpha$$ Тогда знаменатель исходной дроби равен: $$\frac{\cos \alpha}{\frac{1}{4} \sin^2 \alpha} = \frac{4 \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}$$ Подставим в исходное выражение: $$\frac{4 \cos \alpha}{\frac{4 \cos \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \sin^2 \alpha$$ Ответ: $\sin^2 \alpha$. **б)** $\frac{\cos \alpha + \cos 3\alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{1 + \cos 2\alpha}$ Применим формулы суммы косинусов и суммы синусов: $$\cos \alpha + \cos 3\alpha = 2 \cos \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \cos 2\alpha \cos \alpha$$ $$\sin \alpha + \sin 3\alpha = 2 \sin \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} = 2 \sin 2\alpha \cos \alpha$$ Используем формулу $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$: $$\frac{2 \cos 2\alpha \cos \alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{2 \cos^2 \alpha} = \frac{2 \cos 2\alpha \cos \alpha}{\sin 2\alpha} + \frac{\sin 2\alpha}{\cos \alpha}$$ Приведем к общему знаменателю $\sin 2\alpha \cos \alpha$: $$\frac{2 \cos 2\alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos \alpha}$$ Так как $2\cos^2 \alpha = 1 + \cos 2\alpha$: $$\frac{\cos 2\alpha (1 + \cos 2\alpha) + \sin^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos \alpha} = \frac{\cos 2\alpha + \cos^2 2\alpha + \sin^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos \alpha} = \frac{\cos 2\alpha + 1}{\sin 2\alpha \cos \alpha}$$ $$\frac{2\cos^2 \alpha}{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha}$$ Ответ: $\frac{1}{\sin \alpha}$. **а)** $\frac{\text{tg}^2 2\alpha - \text{ctg}^2 2\alpha}{4 \text{ctg } 4\alpha}$ Преобразуем числитель: $$\text{tg}^2 2\alpha - \text{ctg}^2 2\alpha = (\text{tg } 2\alpha - \text{ctg } 2\alpha)(\text{tg } 2\alpha + \text{ctg } 2\alpha)$$ $$\text{tg } 2\alpha - \text{ctg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin^2 2\alpha - \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{-\cos 4\alpha}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = -2\text{ctg } 4\alpha$$ $$\text{tg } 2\alpha + \text{ctg } 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin 4\alpha} = \frac{2}{\sin 4\alpha}$$ Числитель принимает вид: $$(-2\text{ctg } 4\alpha) \cdot \frac{2}{\sin 4\alpha} = -\frac{4\text{ctg } 4\alpha}{\sin 4\alpha}$$ Подставим в исходное выражение: $$\frac{-\frac{4\text{ctg } 4\alpha}{\sin 4\alpha}}{4\text{ctg } 4\alpha} = -\frac{1}{\sin 4\alpha}$$ Ответ: $-\frac{1}{\sin 4\alpha}$. **б)** $\frac{\cos \alpha - \cos 3\alpha}{1 - \cos 2\alpha} + \frac{\sin \alpha - \sin 3\alpha}{\sin 2\alpha}$ Применим формулы разности косинусов, синусов и формулу $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$: $$\cos \alpha - \cos 3\alpha = -2\sin \frac{\alpha + 3\alpha}{2}\sin \frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2\sin 2\alpha \sin \alpha$$ $$\sin \alpha - \sin 3\alpha = 2\sin \frac{\alpha - 3\alpha}{2}\cos \frac{\alpha + 3\alpha}{2} = -2\sin \alpha \cos 2\alpha$$ Подставим в дроби: $$\frac{2\sin 2\alpha \sin \alpha}{2\sin^2 \alpha} + \frac{-2\sin \alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\sin \alpha} - \frac{2\sin \alpha \cos 2\alpha}{2\sin \alpha \cos \alpha}$$ $$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha} = 2\cos \alpha - \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha}{\cos \alpha}$$ Так как $2\cos^2 \alpha - \cos 2\alpha = 1$: $$\frac{1}{\cos \alpha}$$ Ответ: $\frac{1}{\cos \alpha}$. --- ### Докажите тождество: **1)** $4 \sin \alpha \sin \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) \sin \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = \sin 3\alpha$ Преобразуем произведение синусов в разность косинусов: $$\sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\left[\cos 2\alpha - \cos \frac{2\pi}{3}\right]$$ Так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos 2\alpha + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(1 - 2\sin^2 \alpha + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} - 2\sin^2 \alpha\right) = \frac{3 - 4\sin^2 \alpha}{4}$$ Умножим на $4\sin \alpha$: $$4\sin \alpha \cdot \frac{3 - 4\sin^2 \alpha}{4} = 3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha = \sin 3\alpha$$ Тождество доказано. **2)** $4 \cos \alpha \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) = \cos 3\alpha$ Преобразуем произведение косинусов в сумму: $$\cos\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\left[\cos \frac{2\pi}{3} + \cos 2\alpha\right]$$ Так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + 2\cos^2 \alpha - 1\right) = \frac{1}{2}\left(2\cos^2 \alpha - \frac{3}{2}\right) = \frac{4\cos^2 \alpha - 3}{4}$$ Умножим на $4\cos \alpha$: $$4\cos \alpha \cdot \frac{4\cos^2 \alpha - 3}{4} = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha = \cos 3\alpha$$ Тождество доказано. --- ### 5. Найдите два значения $x$ из промежутка $[-360^\circ; 0^\circ]$, удовлетворяющие равенству: **1)** $\cos 21^\circ - \cos 51^\circ = 2\sin x \sin 396^\circ$ Преобразуем левую часть по формуле разности косинусов: $$\cos 21^\circ - \cos 51^\circ = -2\sin \frac{21^\circ + 51^\circ}{2}\sin \frac{21^\circ - 51^\circ}{2} = -2\sin 36^\circ \sin(-15^\circ) = 2\sin 36^\circ \sin 15^\circ$$ Преобразуем правую часть: $$\sin 396^\circ = \sin(360^\circ + 36^\circ) = \sin 36^\circ$$ Уравнение принимает вид: $$2\sin 36^\circ \sin 15^\circ = 2\sin x \sin 36^\circ$$ Разделим обе части на $2\sin 36^\circ \neq 0$: $$\sin x = \sin 15^\circ$$ Общее решение: $$x = 15^\circ + 360^\circ \cdot k \quad \text{или} \quad x = 165^\circ + 360^\circ \cdot n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$ Найдем корни из промежутка $[-360^\circ; 0^\circ]$: - При $k = -1$: $x = 15^\circ - 360^\circ = -345^\circ$ - При $n = -1$: $x = 165^\circ - 360^\circ = -195^\circ$ Ответ: $-345^\circ; -195^\circ$. **2)** $\sin 5^\circ + \sin 65^\circ = 2\sin 395^\circ \cos x$ Преобразуем левую часть по формуле суммы синусов: $$\sin 5^\circ + \sin 65^\circ = 2\sin \frac{5^\circ + 65^\circ}{2}\cos \frac{5^\circ - 65^\circ}{2} = 2\sin 35^\circ \cos(-30^\circ) = 2\sin 35^\circ \cos 30^\circ$$ Преобразуем правую часть: $$\sin 395^\circ = \sin(360^\circ + 35^\circ) = \sin 35^\circ$$ Уравнение принимает вид: $$2\sin 35^\circ \cos 30^\circ = 2\sin 35^\circ \cos x$$ Разделим обе части на $2\sin 35^\circ \neq 0$: $$\cos x = \cos 30^\circ$$ Общее решение: $$x = \pm 30^\circ + 360^\circ \cdot k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Найдем корни из промежутка $[-360^\circ; 0^\circ]$: - При $k = 0$: $x = -30^\circ$ - При $k = -1$: $x = 30^\circ - 360^\circ = -330^\circ$ Ответ: $-330^\circ; -30^\circ$.