ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 19

19. Решим иррациональное тригонометрическое уравнение: $$ \sqrt{3 \sin^2 x - 2} = 3 \cos x - 1 $$ Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе: $$ \begin{cases} 3 \cos x - 1 \ge 0, \\ 3 \sin^2 x - 2 = (3 \cos x - 1)^2 \end{cases} $$ 1. Из неравенства получаем ограничение для $\cos x$: $$ 3 \cos x \ge 1 \implies \cos x \ge \frac{1}{3} $$ 2. Преобразуем уравнение системы, раскрыв скобки в правой части: $$ 3 \sin^2 x - 2 = 9 \cos^2 x - 6 \cos x + 1 $$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$ 3(1 - \cos^2 x) - 2 = 9 \cos^2 x - 6 \cos x + 1 $$ $$ 3 - 3 \cos^2 x - 2 = 9 \cos^2 x - 6 \cos x + 1 $$ $$ 1 - 3 \cos^2 x = 9 \cos^2 x - 6 \cos x + 1 $$ Перенесём все слагаемые в одну часть: $$ 9 \cos^2 x + 3 \cos^2 x - 6 \cos x + 1 - 1 = 0 $$ $$ 12 \cos^2 x - 6 \cos x = 0 $$ Вынесем общий множитель $6 \cos x$ за скобки: $$ 6 \cos x (2 \cos x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ \cos x = 0 \quad \text{или} \quad 2 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2} $$ 3. Проверим условие $\cos x \ge \frac{1}{3}$: * Значение $\cos x = 0$ не удовлетворяет условию, так как $0 < \frac{1}{3}$. * Значение $\cos x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $\frac{1}{2} \ge \frac{1}{3}$. 4. Решим простейшее тригонометрическое уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$: $$ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.