ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 16

Решим первое уравнение: $$ \sin x + \cos x = 1 $$ Применим метод вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $$ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, преобразуем левую часть по формуле косинуса разности: $$ \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Отсюда: $$ x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Получаем две серии решений: 1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$; 2) $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. Чтобы уравнения имели хотя бы один общий корень, этот корень должен удовлетворять второму уравнению $\cos \frac{x}{2} = a$. Найдем значения $a$, подставив решения первого уравнения во второе: 1. При $x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$: $$ a = \cos\left(\frac{2\pi k}{2}\right) = \cos(\pi k) $$ — если $k$ чётное ($k = 2m, \; m \in \mathbb{Z}$), то $a = \cos(2\pi m) = 1$; — если $k$ нечётное ($k = 2m + 1, \; m \in \mathbb{Z}$), то $a = \cos(\pi + 2\pi m) = -1$. 2. При $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$: $$ a = \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right) $$ — если $k$ чётное ($k = 2m, \; m \in \mathbb{Z}$), то $a = \cos\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi m\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$; — если $k$ нечётное ($k = 2m + 1, \; m \in \mathbb{Z}$), то $a = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi m\right) = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, уравнения имеют хотя бы один общий корень при $a = \pm 1$ и $a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}, \; \frac{\sqrt{2}}{2}, \; -1, \; 1$.