ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / подготовка к экзамену - 15

Дано уравнение: $$ \cos x - \frac{1}{4} = 8 \cos^2 \frac{x}{2} - 5 $$ Применим формулу понижения степени для $\cos^2 \frac{x}{2}$: $$ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} $$ Подставим её в исходное уравнение: $$ \cos x - \frac{1}{4} = 8 \cdot \frac{1 + \cos x}{2} - 5 $$ Упростим правую часть: $$ \cos x - \frac{1}{4} = 4(1 + \cos x) - 5 $$ $$ \cos x - \frac{1}{4} = 4 + 4\cos x - 5 $$ $$ \cos x - \frac{1}{4} = 4\cos x - 1 $$ Перенесем слагаемые с переменной в одну часть, а числовые слагаемые — в другую: $$ 1 - \frac{1}{4} = 4\cos x - \cos x $$ $$ \frac{3}{4} = 3\cos x $$ Разделим обе части уравнения на $3$: $$ \cos x = \frac{1}{4} $$ Общее решение уравнения: $$ x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Выполним отбор корней, принадлежащих отрезку $[-\pi; \pi]$. Так как $0 < \frac{1}{4} < 1$, значение $\arccos \frac{1}{4}$ лежит в пределах $0 < \arccos \frac{1}{4} < \frac{\pi}{2}$. 1. При $k = 0$: - $x_1 = \arccos \frac{1}{4} \in [-\pi; \pi]$; - $x_2 = -\arccos \frac{1}{4} \in [-\pi; \pi]$. 2. При $k \ge 1$: - $x = \arccos \frac{1}{4} + 2\pi k > 2\pi > \pi$; - $x = -\arccos \frac{1}{4} + 2\pi k > -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2} > \pi$. 3. При $k \le -1$: - $x = \arccos \frac{1}{4} + 2\pi k < \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} < -\pi$; - $x = -\arccos \frac{1}{4} + 2\pi k < 0 - 2\pi = -2\pi < -\pi$. Следовательно, отрезку $[-\pi; \pi]$ принадлежат только два корня: $\arccos \frac{1}{4}$ и $-\arccos \frac{1}{4}$. Ответ: $\arccos \frac{1}{4}, -\arccos \frac{1}{4}$.