ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / КР-6 / вариант 1 - 2

Решим уравнение $\sin\frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$ на отрезке $[0; 3\pi]$. **1-й способ (через оценку значений функции):** Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{3}$. Так как по условию $x \in [0; 3\pi]$, найдем границы для переменной $t$: $$ 0 \le x \le 3\pi \implies 0 \le \frac{x}{3} \le \pi \implies t \in [0; \pi] $$ Уравнение принимает вид: $$ \sin t = -\frac{1}{2} $$ На отрезке $[0; \pi]$ (I и II координатные четверти) функция $y = \sin t$ принимает только неотрицательные значения, то есть: $$ \sin t \ge 0 \quad \text{для любого } t \in [0; \pi] $$ Так как правая часть уравнения $-\frac{1}{2} < 0$, равенство $\sin t = -\frac{1}{2}$ не выполняется ни при каких $t \in [0; \pi]$. Следовательно, на отрезке $[0; 3\pi]$ данное уравнение решений не имеет. --- **2-й способ (отбор корней из общего решения):** Найдем общее решение уравнения $\sin\frac{x}{3} = -\frac{1}{2}$: $$ \frac{x}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{x}{3} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Умножим обе части каждого равенства на $3$: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{7\pi}{2} + 6\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Проверим, принадлежат ли корни отрезку $[0; 3\pi]$: 1. Для первой серии $x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi k$: - при $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{2} \notin [0; 3\pi]$ (меньше $0$); - при $k = 1$: $x = -\frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{11\pi}{2} = 5{,}5\pi \notin [0; 3\pi]$ (больше $3\pi$). 2. Для второй серии $x = \frac{7\pi}{2} + 6\pi k$: - при $k = 0$: $x = \frac{7\pi}{2} = 3{,}5\pi \notin [0; 3\pi]$ (больше $3\pi$); - при $k = -1$: $x = \frac{7\pi}{2} - 6\pi = -\frac{5\pi}{2} = -2{,}5\pi \notin [0; 3\pi]$ (меньше $0$). При остальных целых $k$ значения $x$ будут еще дальше от заданного отрезка. Корней на отрезке $[0; 3\pi]$ нет. Ответ: решений нет.