ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 1 - 30

30. 5) Решим уравнение $3 \operatorname{tg} 2x = \sqrt{3}$ и найдём его корни, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$. 1. Разделим обе части уравнения на $3$: $$ \operatorname{tg} 2x = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ 2. Воспользуемся формулой корней уравнения $\operatorname{tg} t = a$: $t = \operatorname{arctg} a + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Так как $\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $$ 2x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 3. Разделим обе части полученного равенства на $2$: $$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 4. Отберём корни, принадлежащие отрезку $[0; \pi]$. Составим двойное неравенство: $$ 0 \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \le \pi $$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$ 0 \le \frac{1}{12} + \frac{k}{2} \le 1 $$ Вычтем $\frac{1}{12}$: $$ -\frac{1}{12} \le \frac{k}{2} \le \frac{11}{12} $$ Умножим все части на $2$: $$ -\frac{1}{6} \le k \le \frac{11}{6} $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, возможными значениями являются $k = 0$ и $k = 1$: - при $k = 0$: $$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 0}{2} = \frac{\pi}{12} $$ - при $k = 1$: $$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi + 6\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} $$ Оба значения принадлежат отрезку $[0; \pi]$. Ответ: $\frac{\pi}{12}; \; \frac{7\pi}{12}$.