ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 35 / вариант 1 - 28

Решим тригонометрическое уравнение: $$ \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x} = \sqrt{3} $$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} \cos x \neq 0 \\ 1 - \operatorname{tg}^2 x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ \operatorname{tg} x \neq \pm 1 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \\ x \neq \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \end{cases} $$ 2. Применим формулу тангенса двойного угла $\operatorname{tg} 2x = \frac{2 \operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}$: $$ \operatorname{tg} 2x = \sqrt{3} $$ 3. Решим полученное простейшее уравнение: $$ 2x = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ 2x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части на 2: $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ 4. Проверим соответствие найденных значений области допустимых значений: При $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$ значения $\operatorname{tg} x$ равны $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ или $\pm \sqrt{3}$, следовательно, знаменатель $1 - \operatorname{tg}^2 x \neq 0$, и $\cos x \neq 0$. Все найденные корни входят в ОДЗ. Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.