ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 6 / § 34 / вариант 2 - 26

26. Решим тригонометрическое уравнение: $$ 2 \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) - \sqrt{2} = 0 $$ Перенесём $\sqrt{2}$ в правую часть уравнения: $$ 2 \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \sqrt{2} $$ Разделим обе части уравнения на $2$: $$ \sin\left(\frac{\pi}{6} - x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Так как функция синуса является нечётной ($\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$), вынесем знак «$-$» из аргумента: $$ -\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$ По формуле корней простейшего тригонометрического уравнения $\sin t = a$: $$ x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Так как $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$, получаем: $$ x - \frac{\pi}{6} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x - \frac{\pi}{6} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Выразим $x$: $$ x = \frac{\pi}{6} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Запишем решение в виде двух серий: 1) При чётном $k = 2n$, где $n \in \mathbb{Z}$: $$ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n $$ 2) При нечётном $k = 2n + 1$, где $n \in \mathbb{Z}$: $$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \pi (2n + 1) = \frac{5\pi}{12} + \pi + 2\pi n = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi (n + 1) $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ (или $x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi n, \quad x = -\frac{7\pi}{12} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$).