ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 29 / вариант 2 - 24

24. Решим тригонометрическое уравнение: $$ \sin^4 2x - \cos^4 2x = 0 $$ Разложим левую часть уравнения на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (\sin^2 2x - \cos^2 2x)(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = 0 $$ По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 2x + \cos^2 2x = 1$. Получаем: $$ \sin^2 2x - \cos^2 2x = 0 $$ Вынесем знак «минус» за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ при $\alpha = 2x$: $$ -(\cos^2 2x - \sin^2 2x) = 0 $$ $$ -\cos 4x = 0 $$ $$ \cos 4x = 0 $$ Решим полученное простейшее тригонометрическое уравнение: $$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Разделим обе части равенства на $4$: $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, \quad k \in \mathbb{Z}$.