ГДЗ по алгебре 10 класс Шабунин дидактические материалы (Алимов) Базовый и углубленный уровень глава 5 / § 28 / вариант 2 - 8

8. [3] Вычислить значение выражения: $\text{tg } 105^\circ$. Представим угол $105^\circ$ как сумму двух углов со стандартными тригонометрическими значениями: $$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$$ Применим формулу тангенса суммы двух углов: $$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg }\alpha + \text{tg }\beta}{1 - \text{tg }\alpha \cdot \text{tg }\beta}$$ Подставим $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$: $$\text{tg } 105^\circ = \text{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\text{tg } 60^\circ + \text{tg } 45^\circ}{1 - \text{tg } 60^\circ \cdot \text{tg } 45^\circ}$$ Так как $\text{tg } 60^\circ = \sqrt{3}$, а $\text{tg } 45^\circ = 1$, получаем: $$\text{tg } 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}}$$ Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 + \sqrt{3})$: $$\text{tg } 105^\circ = \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{1^2 - (\sqrt{3})^2}$$ Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы, а в знаменателе применим формулу разности квадратов: $$\text{tg } 105^\circ = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$$ Ответ: $-2 - \sqrt{3}$